Привести уравнение кривой второго порядка f(х,у)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ах+Ву+С=0 х + у ²- 2у + 3 = 0, х + у + 1 = 0

Даны уравнения кривой х + у ²- 2у + 3 = 0 и прямой  х + у + 1 = 0.

1) В уравнении кривой выделяем полные квадраты:

(y²-2·1y + 1) -1·1 = (y-1)²-1 .

Преобразуем исходное уравнение:

(y-1)² = -x -2 .

Получили уравнение параболы:

(y - y0)² = 2p(x - x0) ,

(y-1)² = 2·(-1/2)(x - (-2)) .

Ветви параболы направлены влево, вершина расположена в точке (x0, y0), то есть в точке (-2;1) .

Параметр p = (-1/2 )

Координаты фокуса:  F((xo + (p/2)); yo) = ((-2 - (1/4)); 1) =( (-9/4);1).

Уравнение директрисы: x = x0 - p/2

x = -2 -  (-1/4) = (-7/4 ).

2) Координаты точек пересечения находим совместным решением уравнений кривой и прямой.

х + у ²- 2у + 3 =  х + у + 1 ,

у ²- 3у + 2 = 0,  Д = 9 - 4*1*2 = 1, у1 = (3 - 1)/2 = 1,  у2 = (3 + 1)/2 = 2.

х1 = -у - 1 = -1 - 1 = -2,  х2 = -2 - 1 = -3.