При каком наиболее целом значении а уравнении ||х|-а-7|=10 имеет ровно 2 корня?

| |x| - a - 7| = 10

Раскрываем первый модуль
1) |x| - a - 7 = 10;  |x| = 17 + a;  ⇒ a ≥ -17 (т.к. модуль число положительное)
2) |x| - a - 7 = -10;  |x| = -3 + a; ⇒ a ≥ 3 (модуль числа д.б. ≥ 0)

Решаем 1).
Раскрываем модуль
а) x = 17 + a
b) x = -17 - a
При а < -17 решения нет (см. ограничительное условие выше); при а = -17 будет одно решение; при а > -17 будет два решения.

Решаем 2).
Раскрываем модуль
а) x = -3 + a
b) x = 3 - a
При а < 3 решения нет; при а = 3 будет одно решение; при а > 3 будет 2 решения.

Объединяем решения.
а < -17 - решения нет
а = 17 - одно решение
-17 < a < 3 - два решения
а = 3 - три решения
а > 3 - четыре решения

Итак, в интервале а∈ (-17; 3) уравнение будет иметь 2 решения.