При каких значениях a уравнение ax^2- (3a+1) x + a=0 имеет 2 разные корени

Пошаговое объяснение:

чтобы квадратное уравнение ax² + bx + c = 0  имело два разных вещественных корня, необходимо, чтобы дискриминант был больше нуля     (D > 0)

D = b² -4ac

наше уравнение перепишем с а₁ чтобы не путать его с "а" из теории

итак

a₁x²- (3a₁+1) x + a₁=0

у нас

а = а₁

b = -(3a₁+1)

c = a₁

найдем дискриминант

D = (-((3a₁+1))² -(4*a₁*a₁) = 9a₁² +6a₁ +1 -4a₁² = 5a₁² +6a₁ +1

и теперь

5a₁² +6a₁ +1 > 0  

находим корни (а₁₁ = -1;   a₁₂ = -0.2) и смотрим на каком промежутке выполнянтся неравенство. у нас парабола ветвями вверх, значит условие > 0 выполняется при  

a₁ ∈ (-∞; -1) ∪ (-0.2; +∞)

ответ

уравнение ax^2- (3a+1) x + a=0  имеет 2 разные корени при

a ∈ (-∞; -1) ∪ (-0.2; +∞)