При каких целых a, b, c функции f1(x)=1/a(1+bx)^c и f2(x)=1+x-1,5x^2 является первообразной для одной и той же функции f(x)?

Решение в приложении.

Для начала, давайте разберемся, что означает "первообразная функция". Первообразная функция для данной функции F(x) - это такая функция f(x), производная от которой равна данной функции F(x).

Итак, нам нужно найти фукнцию F(x), производная которой будет равна f1(x) и f2(x) одновременно.

Начнем с функции f2(x)=1+x-1,5x^2. Чтобы найти первообразную для нее, мы должны применить теорему о вычислении интеграла. Согласно этой теореме, интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов каждой функции по отдельности.

Таким образом, интеграл от f2(x) будет равен интегралу от 1 + интегралу от x - интегралу от 1,5x^2.

Интеграл от константы равен произведению этой константы на переменную интегрирования. Поэтому интеграл от 1 будет равен x.

Интеграл от x равен (1/2)x^2, что можно найти, используя правило для интегрирования степенной функции с базисом, равным 1. В данном случае это x^(2+1)/(2+1), что дает (1/2)x^2.

Интеграл от 1,5x^2 будет равен 1,5 * (1/3)x^3, где (1/3) получается из правила интегрирования x^(n+1)/(n+1) для степенной функции.

Таким образом, интеграл от функции f2(x) будет равен x + (1/2)x^2 - 1,5 * (1/3)x^3. Мы можем упростить это выражение, объединив подобные слагаемые, чтобы получить F(x) = x + (1/2)x^2 - (1/2)x^3.

Теперь давайте перейдем к функции f1(x) = 1/a(1+bx)^c. Мы пытаемся найти такие значения a, b и c, при которых f1(x) будет иметь ту же первообразную, что и f2(x).

Для этого нам нужно найти производную от F(x) и сравнить ее с f1(x). После этого мы сможем найти значения a, b и c, которые удовлетворяют нашему условию.

Чтобы найти производную от F(x), мы должны применить правило дифференцирования для каждого слагаемого.

Производная от первого слагаемого x будет равна 1.

Производная от второго слагаемого (1/2)x^2 будет равна x.

Производная от третьего слагаемого -(1/2)x^3 будет равна -(3/2)x^2.

Теперь мы можем сравнить это с f1(x) = 1/a(1+bx)^c.

Поскольку производная F(x) равна f1(x), мы можем приравнять каждое слагаемое производной F(x) к соответствующим слагаемым f1(x).

Это дает нам следующую систему уравнений:
1 = 1/a,
x = b(1+bx)^(c-1),
-(3/2)x^2 = ac(1+bx)^(c-1).

Решив эту систему уравнений, мы можем найти значения a, b и c, которые удовлетворяют нашему условию.

В этой задаче требуется решить систему из трех уравнений. Решение системы производится методом исключения переменных или методом подстановки.

В результате решения этой системы уравнений, мы можем найти значения a, b и c, при которых функции f1(x) и f2(x) будут иметь одну и ту же первообразную.