Представить комплексное число z3 в тригонометрической форме, вычислить (z3)^6 и результат представить в алгебраической форме. z3=1-i

Здравствуйте! Рад буду выступить в роли вашего школьного учителя и помочь с этим вопросом.

Для начала, представим комплексное число z3=1-i в тригонометрической форме. Тригонометрическая форма комплексного числа имеет следующий вид: r(cosθ + isinθ), где r - модуль числа, а θ - аргумент (угол между положительным направлением оси x и радиус-вектором этого числа).

Чтобы найти модуль числа z3, воспользуемся формулой: r = √(Re(z)^2 + Im(z)^2), где Re(z) - вещественная часть числа, а Im(z) - мнимая часть числа.
В нашем случае:
Re(z3) = Re(1 - i) = 1,
Im(z3) = Im(1 - i) = -1.
Тогда модуль r вычисляется следующим образом:
r = √(1^2 + (-1)^2) = √(1 + 1) = √2.

Теперь найдем аргумент θ. Используем следующую формулу: θ = arctan(Im(z)/Re(z)).
В нашем случае:
θ = arctan((-1)/1) = arctan(-1) = -π/4.

Таким образом, комплексное число z3=1-i в тригонометрической форме имеет вид z3 = √2 * (cos(-π/4) + isin(-π/4)).

Теперь, чтобы вычислить (z3)^6, возведем z3 в 6-ю степень. Используем формулу де Муавра: (r(cosθ + isinθ))^n = r^n * (cos(nθ) + isin(nθ)).

Подставим значения и вычислим:
(z3)^6 = (√2 * (cos(-π/4) + isin(-π/4)))^6.
r = √2, θ = -π/4, n = 6.
Тогда (z3)^6 = (√2)^6 * (cos(6*(-π/4)) + isin(6*(-π/4))).
(√2)^6 = 2^3 = 8.

Теперь найдем значение cos(6*(-π/4)) и sin(6*(-π/4)).
cos(6*(-π/4)) = cos(-3π/2) = 0.
sin(6*(-π/4)) = sin(-3π/2) = -1.

Таким образом, (z3)^6 = 8 * (0 + i*(-1)) = 8 * (-i) = -8i.

Итак, результат вычисления (z3)^6 в алгебраической форме равен -8i. Надеюсь, я понятно объяснил этот процесс. Если есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!