Поток студентов пять раз сдавал один и тот же зачет (не сумевшие сдать зачет приходили на следующий день). каждый день успешно сдавали зачет треть всех пришедших студентов и еще треть студента. какое наименьшее число студентов, так и не сдавших зачёт за пять раз?

Пусть  - количество студентов, не сдавших зачёт в -й день. Тогда в -й день пришло сдавать зачёт студентов,  (мы условно полагаем  равным количеству студентов, пришедших в первый день). По условию, в -й день сдало зачёт  студентов, значит не сдало . С другой стороны, это число, по определению, равно , поэтому . Из этой формулы по индукции выводится, что должно быть целым, поэтому должно делиться на  и, очевидно, минимальное число студентов в потоке  (а, стало быть, и минимальное ), при котором это возможно - это 242, откуда минимальное значение  - числа студентов, так и не сдавших зачёт за 5 дней - равно 31.