1. Математика
  2. Показать что функция дифферинцирована

Показать что функция f(z)=(x^{3} -3xy^{2} )+i(3x^{2}y -y^{3} ) дифферинцирована и найти ее производную. Я сам решал шел по верному пути но споткнулся Решается через условия Коши Римана.

aftorik aftorik    2   06.11.2020 18:25    0

Ответы
вівиvi вівиvi  06.12.2020 18:36
ответ:f'(z)=3z^2Пошаговое объяснение:1. Найдем мнимую и действительную части функции

f(z)=u(x,y)+i\cdotv(x,y)

u(x,y)=x^3-3xy^2v(x,y)=3x^2y-y^32. Проверим выполнение условия Коши-Римана\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial y}\\\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial y}=-\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial x}

1. Найдем производную по х функции u

\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial (x^3-3xy^2)}{\partial x}=3x^2-3y^2

2. Найдем производную по у функции v

\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial (3x^2y-y^3)}{\partial y}=3x^2-3y^2

Производные совпадают - первое условие Коши-Римана выполнено

3. Найдем производную по у функции u

\dfrac{\partial u(x,y)}{\partial y}=\dfrac{\partial (x^3-3xy^2)}{\partial y}=-6xy

4. найдем производную по х функции v

\dfrac{\partial v(x,y)}{\partial x}=\dfrac{\partial (3x^2y-y^3)}{\partial x}=6xy

Данные производные отличаются знаком, второе условие Коши-Римана выполнено

Значит данная функция дифференцируема3. Найдем производную

Упростим нашу функцию, зная что  

x=\b{Re} ~z\\y=\b{Im}~z

f(z)=f(x+iy)=x^3-3xy^2+3ix^2y-iy^3=x^3+3x^2(iy)+3x(iy)^2+(iy)^3=(x+iy)^3=z^3

Тогда

f'(z)=(z^3)'=3z^2

ОТВЕТ f'(z)=3z^2
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
катя5080 катя5080  28.05.2019 19:30
Сумма семи различных натуральных чисел равна 29. чему равна разность между наибольшим и наименьшим?...
azovska552 azovska552  28.05.2019 19:30
Решитее : : : 2целых 4\11-1целая 7\11= 2целых 4\11-1 целая 7\11=...
Серафима1234 Серафима1234  28.05.2019 19:30
Синтернета,подбери и запиши интересные сведения о спортсменах...
Makoto2000 Makoto2000  28.05.2019 19:30
Вместо ? надо поставить цифры 2763? +8? 99=3? 430...
olegkuchmak olegkuchmak  28.05.2019 19:30
Из 16 метров ткани сшили детские платья,расходуя на каждое платья 2 метров . сколько платьев сшили?...
murvil228 murvil228  28.05.2019 19:30
Начертить два отрезка: первый 12 см, а длина второго четвёртая часть длины первого...
alenkashkiteva alenkashkiteva  28.05.2019 19:30
Задали по окружайке доклад о растение и животному из красной книге везде посмотрел ....
Malıw Malıw  28.05.2019 19:30
Найдите значения выражений удобным...
kate833 kate833  28.05.2019 19:30
Летели галки устали видят- берёзы. решили отдохнуть и стали рассаживаться на берёзах. попробовали сесть по одной на каждое дерево. четырём галкам берёз не хватило.стали...
pomidorka0078 pomidorka0078  28.05.2019 19:30
Найдите значение выражения 3 во второй степени + 4 во второй степени (4 во второй степени + 1 ) вовторой...

Популярные вопросы