Плоскость закрашена в три цвета. доказать, что найдутся две точки, закрашенные в один цвет и расположенные на расстоянии 1 м.

Допустим что две точки лежащие на расстоянии 1 м разного цвета,
построим правильный треугольник со стороной 1м ,получим что все точки принадлежашие вершинам разного цвета. 
отметим точку А1 симметричную точке А относительно стороны ВС ,а так как  А1 находится от точек В и С на расстоянии 1м она   не совпадает сними по цвету  , значит она совпадает по цвету с точкой А
,то есть если начертить окружность с радиусом \sqrt{x3},и  центром в точке А, то все точки принадлежащие этой окружности будут одного цвета , значит найдутся две точки расстояние между которыми равно 1. Получили противоречие.