Площини а і в перитинаються по прямій а у площині а вибрано точку а таку,що відстань від неї до до площини в=4 см , до прямої а-8см.знайдіть кут між площинами а і в

Відстань від точки до площини — це довжина найкоротшого вектора, проведеного до площини. Оскільки таким вектором є перпендикуляр, то відстань рівна довжині перпендикуляра.

На практиці площину задають рівнянням Ax + By + Cz + D = 0. Точка в просторі (3D) характеризується трьома координатами F(x0, y0, z0). Формула Відстань від точки до площини знаходять за формулою

Вона виводиться аналогічно до формули відстані від точки до прямої на площині (2D) і геометрично рівна проекції будь-якого вектора проведеного з точки до площини на нормальний вектор площини (див. рис).

На практиці ніякої побудови чи аналізу виконувати не потрібно. Просто підставити дані у формулу і порахувати. Обчислення не надто складні, однак вартує користуватися калькулятором для обчислення кореня та ділення на нього. Решта дій можна виконати без допоміжної техніки.

Приклад 1. Знайти відстань від точки F(1; 2; -1) до площини x-2y+3z-7=0. 
Розв'язання: Застосовуємо формулу відстані від точки до площини 

Відстань рівна 3,47 умовних одиниці.

Приклад 2. Знайти відстань від точки M(3; 1; 2) до площини 2x+y-z+5=0.
Розв'язання: Підставляємо значення у формулу та знаходимо відстань

Ось так легко обчислили відстань.

Приклад 3. Трикутна піраміда задана вершинами A(1; -1; 2), B(3; 5; 1), C(2; 4; 0), D(8; 1; 3). Знайти висоту піраміди, проведеної з вершини D до основи. 
Розв'язання: Складемо рівняння площини через три точки . Для цього виберемо довільну точку M(x; y; z) із площини і побудуємо три вектори
AM(x-1; y+1;z-2);
AB(3-1;5+1; 1-2)=(2; 6; -1);
AC(2-1;4+1; 0-2)=(1; 5; -2). 
Знайдемо мішаний добуток векторів площини

Розпишемо визначник за елементами першого рядка

Канонічне рівняння площини наступне
-7x+3y+4z+2=0.
Маючи рівняння і точку D(8; 1; 3) відстань обчислюємо за формулою

Висота піраміди 4,53 умовні одиниці.

Якщо часто доводиться шукати відстань і є можливість написати калькулятор в математичному пакеті чи певній мові програмування то варто це зробити. По- перше Ви поглибите знання з програмування чи користування математичними пакетами. З другої сторони, написавши алгоритм обчислень один раз, Ви зможете розв'язати багато задач, змінюючи лише вхідні дані. В пакеті Маple код калькулятора для обчислення відстані від точки до площини матиме вигляд
> restart;
> A:=-7;B:=3;C:=4;DD:=2;x0:=8;y0:=1; z0:=3;

> Dist:=abs(A*x0+B*y0+C*z0+DD)/sqrt(A^2+B^2+C^2);