Периметр выпуклого многоугольника,описанного около окружности радиуса 10 см,равен 72 см. найдите площадь этого многоугольника

Существует формула вычисления радиуса вписанной в многоугольник окружности, которая выглядит так:
r=S/p, где
S - площадь многоугольника, а p- полупериметр многоугольника, который в нашем случае равен 
p=72:2=36 см
Подставляем в формулу и находим площадь
10=S/36
S=10*36=360 см².

Формулу отыскания площади многоугольника можно вывести простым логическим рассуждением:
пусть r - радиус вписанной окружности, а₁, а₂, а₃ ... а(n) - стороны многоугольника, которые также являются касательными к окружности, т.е. радиус перпендикулярен стороне многоугольника. Соединим центр окружности и вершины многоугольника, получим n треугольников, площадь каждого из которых s₁=(1/2)*a₁*r
s₂=(1/2)*a₂*r
...
s(n)=(1/2)*a(n)*r
Площадь многоугольника равна сумме площадей полученных треугольников
S=s₁+s₂+...+s(n)=(1/2)*a₁*r+(1/2)*a₂*r+...+(1/2)*a(n)*r=(1/2)*r*(a₁+a₂+...+a(n))
a₁+a₂+...+a(n) и есть периметр многоугольника, поэтому можно записать
S=(1/2)*r*P=r*p