Периметр прямоугольного треугольника авс (∠с = ) равен 72 см, а разность между длинами медианы ск и высоты см равна 7 см. найдите длину гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузе.
Обозначим медиану за с, гипотенузу за 2с, катеты за а и в.
Высота, проведенная к гипотенузе по условию с-7 (высота меньше медианы по неравенству Коши).
Площадь прямоугольного треугольника равна 1/2*а*в - через катеты, 
1/2*2c*(c-7)=c*(c-7) - через гипотенузу и высоту.
Тогда 
с*(с-7)=1/2*ав

2ав=4с*(с-7)

По теореме Пифагора а^2+в^2=4с^2

(В нашей задаче гипотенуза равна 2с) 
а^2+в^2+2ав-2ав=4с^2 


(а+в)^2-2ав=4с^2 

По условию а+в+2с=72
а+в=72-2с

Подставляя то , что нашли ранее,  в преобразованную нами теорему Пифагора, получим:

(72-2с)^2-4с*(с-7)=4с^2

72^2-288с+4с^2-4с^2+28с=4с^2
 
4с^2+260с-72^2=0

Поделим обе части уравнения на 4:

с^2+65с-1296=0 

Это квадратное уравнение с корнями -162 и 16.

 Корень -162 не подходит (длина медианы не может быть отрицательным числом).

Следовательно, медиана равна 16, а гипотенуза 32. 

ответ: 32.