ОТ есть такое же задание. Получите еще Построение графиков функций по общей схеме исследований

Общая схема:

1) Область определения функции D.

2) Особые свойства функции

3) Нахождение точек пересечения графика с осями

4) Нахождение промежутков монотонности.

Нахождение локального экстремума.

5) Нахождение интервалов выпуклости графика функции

Ну и само задание.

1) f(x)=2x^3-x^2-8x+4

Дана функция f(x)=2x^3-x^2-8x+4.

) Область определения функции D.

Так нет ограничений, то D ∈ (-∞; +∞).

2) Особые свойства функции - особых нет.

3) Нахождение точек пересечения графика с осями.

Если х = 0, то точка пересечения с осью Оу = 4.

Если у = 0, то надо решить кубическое уравнение:

2x^3-x^2-8x+4 = 0.

Иногда удаётся найти корни уравнения среди множителей свободгого члена: +-1, +-2, +-4.

В данном уравнении подходят корни х = +-2.

Разделив последовательно заданное выражение на (х - 2) и (х + 2), находим третий корень х = 0,5.

4) Нахождение промежутков монотонности.

Находим производную функции.

y' = 6x² - 2x - 8 и приравниваем её нулю.

6x² - 2x - 8 = 0  или 3x² - x - 4 = 0. D = 1 - 4*3*(-4) = 49.  √D = +-7.

x1 = (1 - 7) / 6 = -1,

x2 (1 + 7)/6 = 8/6 = 4/3.

Это критические точки, в которых производная равна нулю.

Нахождение локального экстремума.

Определяем характер найденных критических точек по знакам производной левее и правее этих точек.

х =   -2      -1       0       4/3        2

y' = 20       0     -8        0          12.

Максимум в точке х = -1, у = 9,

минимум в точкех = 4/3, у = -100/27.

Из этой таблицы получаем и свойство функции на промежутках.

Получено 3 промежутка монотонности:

(-∞; -1) и ((4/3; +∞) функция возрастает,

(-1; (4/3)) функция убывает.

5) Нахождение интервалов выпуклости графика функции.

Находим вторую производную функции.

y'' = 12x - 2. Приравниваем её нулю:12х - 2 = 0 или 6х - 1 = 0.

Отсюда получаем одну точку перегиба функции х = 1/6.

(-∞; (1/6)) выпуклость вверх,

((1/6); +∞) выпуклость вниз (по знакам второй производной).

Пошаговое объяснение:

Решение дано на фото.