Остап Бендер не был лично знаком с Председателем Правления кредитно-финансового учреждения «Банк зла» — мистером Перкинсом, но был наслышан, что банк отдает предпочтение нехорошим парням и инвестирует в «сомнительные» проекты. Поэтому именно Перкинсу Остап решил продать свою идею по привлечению вкладов населения в банк. По его замыслу,

– по истечении каждого полугодия банк начисляет на сумму счета некоторый процент
, причисляя сумму процентов к счету;

– в первый год величина
– это целое, кратное пяти число;

– в каждый следующий год величина
удваивается.

Если Бендером предполагается, что в конце
-го года сумма на счете должна превышать первоначальную на
, то какая величина
должна быть использована банком в первый год?

Хорошо, давайте решим эту задачу.

В задаче говорится, что банк начисляет на сумму счета некоторый процент после каждого полугодия, и в первый год величина
– это целое, кратное пяти число.

Пусть первоначальная сумма на счете в банке равна S (это неизвестное нам значение). Будем обозначать через P процент, который начисляется на сумму счета после каждого полугодия.

Также в задаче указано, что в каждый следующий год величина
удваивается. Пусть N - это номер года, в котором мы хотим, чтобы сумма на счете превышала первоначальную на M (также неизвестное нам значение).

Тогда, в конце первого полугодия сумма на счете будет S + S * P/100.
В конце второго полугодия сумма на счете будет (S + S * P/100) + (S + S * P/100) * P/100 = S + S * (P/100) + S * (P/100) + (S * P/100)^2.

В конце первого года сумма на счете будет S + S * (P/100) + S * (P/100) + (S * P/100)^2 + S * (P/100) * 2.
А в конце второго года сумма на счете будет S + S * (P/100) + S * (P/100) + (S * P/100)^2 + S * (P/100) * 2 + S * (P/100) * 2 + (S * P/100)^2 * 2.
и так далее.

Теперь, согласно условию задачи, нам нужно найти такую сумму S и процент P, чтобы в конце N-го года сумма на счете была больше первоначальной на M.

Это можно записать в виде уравнения:
S + S * (P/100) + S * (P/100) + (S * P/100)^2 + S * (P/100) * 2 + S * (P/100) * 2 + (S * P/100)^2 * 2 + ... + S * (P/100) * 2^(N-1) + (S * P/100)^2 * 2^(N-1) > S + M.

Упростим это уравнение. Заметим, что в каждой скобке S * (P/100) * 2^n, где n - номер скобки, есть общий множитель S * (P/100). Тогда:

S * (P/100) * (1 + 1 + (P/100)^2 + 2 + 2 * (P/100)^2 + ... + 2^(N-1) + (P/100)^2 * 2^(N-1)) > M.

Теперь у нас есть сумма геометрической прогрессии (1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(N-1)), которую можно найти с помощью формулы для суммы геометрической прогрессии: S_n = a * (q^n - 1)/(q - 1), где a - первый элемент прогрессии (в нашем случае это 1), q - знаменатель прогрессии (в нашем случае это 2).

Тогда сумма геометрической прогрессии равна 2^n - 1.

Подставим это обратно в уравнение:
S * (P/100) * ((2^N - 1) + (P/100)^2 * (2^N - 1)) > M.

Теперь нам нужно найти такие значения S и P, чтобы это уравнение выполнялось.

Остап Бендер предполагает, что в конце года сумма на счете должна превышать первоначальную на M. Но чтобы учесть начисление процентов после каждого полугодия, нам нужно добавить S * (P/100) * (2^N - 1) к S. Тогда:

S + S * (P/100) * (2^N - 1) = S + M.

Упрощаем уравнение:
S * (1 + (P/100) * (2^N - 1)) = S + M.

Избавимся от деления на S, разделив обе части уравнения на S:
1 + (P/100) * (2^N - 1) = 1 + (M/S).

Упростим еще больше:
(P/100) * (2^N - 1) = M/S.

Мы знаем, что в первый год величина
– это целое, кратное пяти число. То есть
= 5 * K, где K - некоторое целое число.

Подставим это в последнее уравнение:
(P/100) * (2^N - 1) = M/(5 * K).
(P/100) * (2^N - 1) = M/(5 * K).

У нас есть два неизвестных - P и N, поэтому нам нужно еще одно уравнение, чтобы решить эту задачу.

Примем во внимание, что в каждом последующем полугодии сумма на счете удваивается. Это означает, что в конце каждого года сумма на счете будет равна двукратному значению предыдущего года (S * 2).

Теперь рассмотрим первоначальную сумму на счете после первого полугодия. Сумма будет равна S + S * (P/100), так как начисленные проценты также добавляются к счету.

В конце первого года сумма на счете будет равна двукратному значению суммы после первого полугодия, то есть (S + S * (P/100)) * 2.

Выражаем через N и K:
(S + S * (P/100)) * 2 = (5 * K) * 2^N.

Теперь у нас есть два уравнения:
(P/100) * (2^N - 1) = M/(5 * K).
(S + S * (P/100)) * 2 = (5 * K) * 2^N.

Используя эти два уравнения, мы можем решить задачу и найти значения P и N.

Из первого уравнения (P/100) * (2^N - 1) = M/(5 * K) можно выразить P через N:
P = (100 * M)/(5 * K * (2^N - 1)).

Подставим это значение P во второе уравнение:
(S + S * ((100 * M)/(5 * K * (2^N - 1)))/100) * 2 = (5 * K) * 2^N.

Упростим:
(S + S * (M/(5 * K * (2^N - 1)))) * 2 = (5 * K) * 2^N.

Теперь выразим S через K:
S = ((5 * K) * 2^N) / (2 - M/(5 * K * (2^N - 1))).

Теперь у нас есть две формулы для P и S, используя которые мы можем решить задачу.

Окончательный ответ:
P = (100 * M)/(5 * K * (2^N - 1)).
S = ((5 * K) * 2^N) / (2 - M/(5 * K * (2^N - 1))).

Найденные значения P и S могут быть использованы банком в первый год для привлечения вкладов населения и увеличения суммы на счете в конце N-го года на M.