Основанием прямой призмы ABCD A1 B1 C1 D1 является параллелограмм ABCD, в котором CD=10, BAD =30°. Высота призмы равна 15. Найдите тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью D1 BC.

Для решения данной задачи, воспользуемся основными свойствами параллелограмма и прямой призмы.

1. Первым шагом необходимо построить параллелограмм ABCD и его высоту. По условию, CD = 10 и BAD = 30°. Изобразим это на рисунке.

```
D
/ \
/ \
A/_____\B
| |
| 15 |
| |
C\_____/D1

```

2. Если мы знаем параллелограмм ABCD, то можем найти его площадь следующим образом: S = AB * h, где AB - длина основания параллелограмма, h - высота. В нашем случае, AB = CD = 10, h = 15. Подставляем значения и получаем: S = 10 * 15 = 150.

3. Зная площадь параллелограмма ABCD, можем найти длину его диагонали AC следующим образом: S = 1/2 * AC * h, где AC - диагональ параллелограмма, h - высота. Подставляем значения и получаем: 150 = 1/2 * AC * 15. Решаем уравнение и находим AC = 20.

4. Теперь мы можем найти синус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью D1 BC. Для этого воспользуемся формулой: sin(угол) = h/AC, где h - высота призмы, AC - диагональ параллелограмма. Подставляем значения и находим: sin(угол) = 15/20 = 3/4.

5. Затем находим косинус угла между плоскостью основания призмы и плоскостью D1 BC. Для этого используем формулу: cos(угол) = √(1 - sin^2(угол)). Подставляем значения и получаем: cos(угол) = √(1 - (3/4)^2) = √(1 - 9/16) = √(7/16) = √7/4.

6. Наконец, находим тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью D1 BC. Для этого используем формулу: tg(угол) = sin(угол)/cos(угол), подставляем ранее найденные значения и получаем: tg(угол) = (3/4)/(√7/4) = (3√7)/7.

Таким образом, тангенс угла между плоскостью основания призмы и плоскостью D1 BC равен (3√7)/7.