Определите для каких значений параметра a ∈ R операция x ‡ y = xy+ 3x+ 3y+a,которая определена для x,y ∈ R является ассоциативной и коммутативной

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра a операция x ‡ y = xy + 3x + 3y + a является ассоциативной и коммутативной, мы должны проверить два свойства - ассоциативность и коммутативность.

1. Ассоциативность:
Операция является ассоциативной, если при любых значениях x, y и z выполняется следующее условие: (x ‡ y) ‡ z = x ‡ (y ‡ z).

Перепишем операцию x ‡ y = xy + 3x + 3y + a в виде функции:
f(x, y) = xy + 3x + 3y + a.

Теперь рассмотрим выражение (x ‡ y) ‡ z:
((x ‡ y) ‡ z) = (f(x, y)) ‡ z = f(f(x, y), z) = f(xy + 3x + 3y + a, z).

Теперь рассмотрим выражение x ‡ (y ‡ z):
(x ‡ (y ‡ z)) = x ‡ (f(y, z)) = f(x, f(y, z)) = f(x, yz + 3y + 3z + a).

Чтобы операция была ассоциативной, нужно, чтобы выполнялось равенство f(xy + 3x + 3y + a, z) = f(x, yz + 3y + 3z + a) для любых значений x, y и z.

Так как это равенство должно выполняться для любых значений x, y и z, то можно приравнять соответствующие коэффициенты при одинаковых степенях переменных:

a) коэффициент при xy должен равняться коэффициенту при yz:
1 = 0.

Это равенство невозможно, поэтому операция x ‡ y не является ассоциативной для любого значения параметра a ∈ R.

2. Коммутативность:
Операция является коммутативной, если для любых значений x и y выполняется равенство: x ‡ y = y ‡ x.

Рассмотрим выражение x ‡ y:
x ‡ y = xy + 3x + 3y + a.

Рассмотрим выражение y ‡ x:
y ‡ x = yx + 3y + 3x + a.

Чтобы операция была коммутативной, нужно, чтобы выполнялось равенство xy + 3x + 3y + a = yx + 3y + 3x + a для любых значений x и y.

Сократив одинаковые слагаемые с двух сторон, получим равенство: xy = yx.

Это равенство выполняется для любых значений x и y, поэтому операция x ‡ y является коммутативной для любого значения параметра a ∈ R.