Определи объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: y=3x2,y=3x.

ответ: V= π.

Объём какого тела необходимо ещё вычислить в ходе решения задачи (выбери один вариант ответа):
шар
конус
параллелепипед

Для определения объема тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, мы можем использовать метод цилиндра. Данный метод заключается в том, что мы представляем фигуру, ограниченную линиями y=3x^2 и y=3x, как множество параллельных пластинок толщиной dx, расположенных перпендикулярно оси абсцисс.

Пусть каждая пластинка имеет высоту y, ширину dx и расположена на расстоянии x от оси абсцисс. Тогда объем каждой пластинки равен dV = πr^2dy, где r - радиус пластинки, а dy - изменение по оси ординат.

Для нахождения радиуса пластинки r, можно использовать соотношение между координатами x и y нашей фигуры. Как можно видеть из графика, y=3x^2 и y=3x пересекаются в точках (0,0) и (1,3). Заметим, что при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, точка (1,3) будет максимальной точкой радиуса пластинки r.

Таким образом, радиус пластинки r будет равен расстоянию от точки (x, y) до оси абсцисс, то есть r = y. Поэтому, объем пластинки можно записать в виде dV = πy^2dx.

Теперь мы можем найти общий объем тела, сложив объемы всех пластинок. Для этого нам нужно интегрировать по оси абсцисс от x=0 до x=1.

V = ∫(от 0 до 1) πy^2dx.

Так как у нас даны функции y=3x^2 и y=3x, мы можем записать это уравнение в виде:

V = ∫(от 0 до 1) π(3x)^2dx.

Вычислив данный интеграл, мы получим ответ:

V = π∫(от 0 до 1) 9x^2dx = π[3x^3/3] (от 0 до 1) = π.

Таким образом, объем тела, полученного при вращении фигуры вокруг оси абсцисс, равен π.

В данной задаче мы уже нашли объем тела, поэтому нам больше необходимо вычислять объем других тел. Ответ на вопрос - шар, конус и параллелепипед - нам не нужно вычислять.