Около прямоугольного треугольника с катетами 3 см и 4 см описана окружность. В круге, ограниченном этой окружностью, наугад выби-

рают точку. Какова вероятность того, что выбранная точка принад-

лежит данному треугольнику?​

Добрый день!

Чтобы решить эту задачу, мы должны учесть геометрические свойства прямоугольного треугольника и окружности, описанной вокруг него.

1. Дано, что прямоугольный треугольник образован катетами длиной 3 см и 4 см. Обозначим эти катеты как a = 3 см и b = 4 см.

2. Описанная окружность – это окружность, которая проходит через вершины треугольника и имеет центр в ортоцентре (точке пересечения высот треугольника). Обозначим радиус описанной окружности как R.

3. Зная, что описанная окружность проходит через вершины треугольника, мы можем сказать, что стороны треугольника равны радиусам окружности. Таким образом, a = R и b = R.

4. С помощью теоремы Пифагора мы знаем, что a^2 + b^2 = c^2, где c - гипотенуза треугольника. Подставим значения a и b и найдем c:

3^2 + 4^2 = c^2
9 + 16 = c^2
25 = c^2
c = 5

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 5 см.

5. Перейдем к поиску вероятности. Для этого найдем площади областей, которые нам интересны.

Посмотрите на рисунок треугольника и круга вместе:

.
/ | \
a / | \ b
/ | \
.____|____.
c

Нас интересует площадь треугольника A, вокруг которого описана окружность, и площадь круга K, ограниченного этой окружностью.

6. Площадь треугольника A: S_a = (a * b) / 2 = (3 * 4) / 2 = 6 см^2

7. Площадь круга K: S_k = π * R^2

Зная, что радиус круга R = a = 3 см (как мы выяснили ранее), мы можем вычислить площадь круга K:

S_k = π * (3^2) = 9π см^2

8. Теперь мы можем найти вероятность того, что наугад выбранная точка будет принадлежать треугольнику:

P(точка принадлежит треугольнику) = S_a / S_k

P = 6 см^2 / 9π см^2

9. Вероятность обычно выражается в виде десятичной дроби или процентах. Давайте вычислим эту десятичную дробь:

P ≈ 0.212

Используя округление до трех знаков после запятой, вероятность того, что выбранная точка принадлежит треугольнику, составляет около 0.212 или около 21.2%.

Таким образом, вероятность того, что наугад выбранная точка принадлежит прямоугольному треугольнику с катетами 3 см и 4 см, составляет около 21.2%.