ОЧЕНЬ НАДО

1. Преобразуйте в произведение:
а) sin 48◦+ sin 32◦;
б) sin 71◦− sin 13◦;

в) cos (π /5) + cos( 2π/ 5) ; г) cos (3π / 7) – cos( 9π / 7) .

2. Преобразуйте в произведение:
а) sin 10◦+ cos 70◦
б) cos 50◦− sin 14◦

3. Докажите тождество:
а) (sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α;

б) ( cos 2α − cos 4α) / ( cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α.

4. Докажите тождество:
а) sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (5α /2 )cos( α )cos (α /2) .

5. Докажите равенство:
а) sin 87◦− sin 59◦− sin 93◦+ sin 61◦= sin 1◦

6. Преобразуйте в сумму или разность:

а) 2 sin 10◦cos 5◦;
б) 2 cos (π /5) cos( 2π/ 5) ;
в) cos cos(3 ); г) sin(3φ) sin(11φ).

7. Проверьте равенство:
а) sin (2x) cos( 3x) + sin (4x) cos( 9x) = sin( 6x) cos (7x);
б) sin (3x) sin x + sin (4x) sin( 8x) = sin (7x) sin (5x).

1. Преобразование в произведение:
а) Для преобразования суммы sin 48° + sin 32° в произведение, мы можем использовать формулу сложения для синуса:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Таким образом, sin 48° + sin 32° = sin (48° + 32°) = sin 80°.
Ответ: sin 48° + sin 32° = sin 80°.

б) Для преобразования разности sin 71° - sin 13° в произведение, мы можем использовать формулу разности для синуса:
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b.

Таким образом, sin 71° - sin 13° = sin (71° - 13°) = sin 58°.
Ответ: sin 71° - sin 13° = sin 58°.

в) Для преобразования суммы cos(π/5) + cos(2π/5) в произведение, мы можем использовать формулу сложения для косинуса:
cos(a + b) = cos a cos b - sin a sin b.

Таким образом, cos(π/5) + cos(2π/5) = cos(π/5 + 2π/5) = cos (3π/5).
Ответ: cos(π/5) + cos(2π/5) = cos (3π/5).

г) Для преобразования разности cos(3π/7) - cos(9π/7) в произведение, мы можем использовать формулу разности для косинуса:
cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b.

Таким образом, cos(3π/7) - cos(9π/7) = cos(3π/7 - 9π/7) = cos (-6π/7).
Ответ: cos(3π/7) - cos(9π/7) = cos (-6π/7).

2. Преобразование в произведение:
а) Для преобразования суммы sin 10° + cos 70° в произведение, мы можем использовать формулу сложения для синуса:
sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b.

Таким образом, sin 10° + cos 70° = sin (10° + 70°) = sin 80°.
Ответ: sin 10° + cos 70° = sin 80°.

б) Для преобразования разности cos 50° - sin 14° в произведение, мы можем использовать формулу разности для синуса:
sin(a - b) = sin a cos b - cos a sin b.

Таким образом, cos 50° - sin 14° = cos (50° - 14°) = cos 36°.
Ответ: cos 50° - sin 14° = cos 36°.

3. Доказательство тождества:
а) Дано: (sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α.

Рассмотрим выражение sin 2α + sin 6α.
Используя формулу сложения для синуса, получаем:
sin 2α + sin 6α = sin (2α + 6α) = sin 8α.

Аналогично, рассмотрим выражение cos 2α + cos 6α.
Используя формулу сложения для косинуса, получаем:
cos 2α + cos 6α = cos (2α + 6α) = cos 8α.

Теперь, подставим полученные выражения в исходное тождество:
(sin 2α + sin 6α) / (cos 2α + cos 6α) = tg 4α
(sin 8α) / (cos 8α) = tg 4α.

Таким образом, тождество доказано.

б) Дано: (cos 2α - cos 4α) / (cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α.

Рассмотрим выражение cos 2α - cos 4α.
Используя формулу разности для косинуса, получаем:
cos 2α - cos 4α = -2 sin (3α / 2) sin (α / 2).

Аналогично, рассмотрим выражение cos 2α + cos 4α.
Используя формулу сложения для косинуса, получаем:
cos 2α + cos 4α = 2 cos (3α / 2) cos (α / 2).

Теперь, подставим полученные выражения в исходное тождество:
(cos 2α - cos 4α) / (cos 2α + cos 4α) = tg 3α tg α
(-2 sin (3α / 2) sin (α / 2)) / (2 cos (3α / 2) cos (α / 2)) = tg 3α tg α
(- sin (3α / 2) sin (α / 2)) / (cos (3α / 2) cos (α / 2)) = tg 3α tg α.

Таким образом, тождество доказано.

4. Доказательство тождества:
а) Дано: sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (5α / 2)cos(α)cos(α / 2).

Рассмотрим выражение sin 2α + sin 3α.
Используя формулу сложения для синуса, получаем:
sin 2α + sin 3α = sin (2α + 3α) = sin 5α.

Теперь, рассмотрим выражение sin 2α + sin 3α + sin 4α.
Используя формулу сложения для синуса, получаем:
sin 2α + sin 3α + sin 4α = sin 5α + sin 4α = sin (5α + 4α) = sin 9α.

Теперь, подставим полученные выражения в исходное тождество:
sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (5α / 2)cos(α)cos(α / 2)
sin α + sin 2α + sin 3α + sin 4α = 4 sin (9α / 2)cos(α)cos(α / 2).

Таким образом, тождество доказано.

5. Доказательство равенства:
а) Дано: sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61° = sin 1°.

Рассмотрим выражение sin 87° - sin 59°.
Используя формулу разности для синуса, получаем:
sin 87° - sin 59° = sin (87° - 59°) = sin 28°.

Теперь, рассмотрим выражение sin 93° - sin 61°.
Используя формулу разности для синуса, получаем:
sin 93° - sin 61° = sin (93° - 61°) = sin 32°.

Теперь, подставим полученные выражения в исходное равенство:
sin 87° - sin 59° - sin 93° + sin 61° = sin 1°
sin 28° - sin 32° = sin 1°.

Таким образом, равенство доказано.

6. Преобразование в сумму или разность:
а) Преобразуем 2 sin 10° cos 5° в сумму:
2 sin 10° cos 5° = sin (10° + 5°) + sin (10° - 5°) = sin 15° + sin 5°.

б) Преобразуем 2 cos (π/5) cos(2π/5) в сумму:
2 cos (π/5) cos(2π/5) = cos (π/5 + 2π/5) + cos (π/5 - 2π/5) = cos (3π/5) + cos (-π/5).

в) Преобразуем cos cos(3) в разность:
cos cos(3) = cos (3) - cos (0).

г) Преобразуем sin(3φ) sin(11φ) в разность:
sin(3φ) sin(11φ) = sin (11φ - 3φ) = sin (8φ).

7. Проверка равенства:
а) Проверим равенство sin (2x) cos(3x) + sin (4x) cos(9x) = sin(6x) cos (7x).
Для этого вначале раскроем произведения с помощью формулы сложения для синуса и косинуса:
sin (2x) cos(3x) + sin (4x) cos(9x) = sin (2x + 3x) + sin (4x + 9x) = sin(5x) + sin(13x),
sin(6x) cos (7x) = sin (6x + 7x) = sin(13x).

Таким образом, равенство верно.

б) Проверим равенство sin (3x) sin x + sin (4x) sin(8x) = sin (7x) sin (5x).
Для этого вначале раскроем произведения с помощью формулы сложения для синуса:
sin (3x) sin x + sin (4x) sin(8x) = sin (3x + x) + sin (4x + 8x) = sin(4x) + sin(12x),
sin (7x) sin (5x) = sin (7x + 5x) = sin (12x).

Таким образом, равенство верно.