Обязательно дайте объяснение.

На высоте неравнобедренного треугольника ABC, проведенной из вершины A, выбрана точка X.
Оказалось, что ∠ABX = ∠ACX. Докажите, что X совпадает с ортоцентром треугольника ABC. ​

наука28 наука28    2   07.05.2020 00:28    1

Ответы
niknik14 niknik14  14.10.2020 09:17

Пусть AH_A — высота. Выполним симметрию ΔABX относительно AX. ΔABX переходит в ΔAB'X. ∠AB'X = ∠ACX и опираются на один отрезок, значит, AXB'C — вписанный четырёхугольник. Тогда и ∠B'CX = ∠B'AX. Но ΔBAB' — равнобедренный по построению, где AH_A — высота. Тогда ∠BAX = ∠B'AX = ∠B'CX.

Пусть прямая CX пересекает AB в H_C, а BX пересекает AC — в H_B. Рассмотрим \triangle ABH_A и \triangle CBH_C: ∠B — общий, \angle BAH_A = \angle BCH_C\angle H_A = \angle H_C, но \angle H_A — прямой, тогда и \angle H_C — прямой. AH_A, CH_C — высоты, пересекаются в точке X, тогда BH_B — также высота, X — ортоцентр, что и требовалось доказать.


Обязательно дайте объяснение. На высоте неравнобедренного треугольника ABC, проведенной из вершины A
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика

Популярные вопросы