1. Математика
  2. Необходимо решить интеграл: tg(x)/(1-ctg^2(x))

Необходимо решить интеграл: tg(x)/(1-ctg^2(x))

Sonya2308 Sonya2308    3   13.06.2019 14:32    0

Ответы
Sema1488 Sema1488  10.07.2020 15:51

\int \frac{tgx\, dx}{1-ctg^2x}=[\; t=tgx\; ,\; x=arctgt\; ,\; dx=\frac{dt}{1+t^2}\; ]=\int \frac{t\, dt}{(1-\frac{1}{t^2})(1+t^2)}=\\\\=\int \frac{t^3\, dt}{(t^2-1)(1+t^2)}=Q\\\\\frac{t^3}{(t-1)(t+1)(t^2+1)}=\frac{A}{t-1}+\frac{B}{t+1}+\frac{Ct+D}{t^2+1}\\\\t^3=A(t+1)(t^2+1)+B(t-1)(t^2+1)+(Ct+D)(t-1)(t+1)\\\\t=1:\; \; A=\frac{t^3}{(t+1)(t^2+1)}=\frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\\\\t=-1:\; \; B=\frac{t^3}{(t-1)(t^2+1)}=-\frac{1}{4}\\\\\\t^3\; |\; A+B+C=1\; ,\; \; C=1-A-B=1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=1

t^2\; |\; A-B+D=0\; ,\; \; D=-A+B=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}\\\\\\Q=\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t-1}-\frac{1}{4}\int \frac{dt}{t+1}+\int \frac{t-\frac{1}{2}}{t^2+1}\, dt=\frac{1}{4}\cdot ln|t-1|-\frac{1}{4}\cdot ln|t+1|+\\\\+\frac{1}{2}\int \frac{2t\, dt}{t^2+1}-\frac{1}{2}\int \frac{dt}{t^2+1}=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{t-1}{t+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot ln|t^2+1|-\frac{1}{2}\cdot arctgt+C=\\\\=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot \Big (ln|tg^2x+1|-artg\, (tgx)\Big)+C=

=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+\frac{1}{2}\cdot \Big (ln(tg^2x+1)-x\Big)+C=

=\frac{1}{4}\cdot ln\Big |\frac{tgx-1}{tgx+1}\Big |+ln\sqrt{tg^2x+1}-\frac{1}{2}x+C

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
danil200804 danil200804  18.05.2020 10:52
Найдите промежутки убывания функции y=-x^3+9x^2+21x...
shi55 shi55  18.05.2020 10:52
Найди область определения выражения 8x+2,8x−9. (Бесконечность обозначай буквой Б, знак «−» или «+» вводи в одно окошечко вместе с Б или с цифрой.) Область определения:...
SmallGeek SmallGeek  18.05.2020 10:52
9. (2 б) У букеті 15 троянд і 10 хризантем. Одна квітка зів яла. Скількома можна вибрати із букета одну троянду й одну хризантему?...
Даша6741 Даша6741  18.05.2020 10:52
400 грамм солёной воды содержит m грамм соли . Какая концентрация соли в растворе(р%) найдите в процентах. используя формулу : найдите р% при m=70 грамм​...
semchik60 semchik60  18.05.2020 10:52
Как вычислить объём прямоугольного параллелепипеда зная его длину ширину и высоту? Краткий ответ. В заранее...
samoilenkoludmi samoilenkoludmi  18.05.2020 10:52
Автомобиль выехал с постоянной скоростью 69км/ч из города А в Б расстояние между которыми 184 км Одновременно с ним из города С в город Б расстояние между которыми...
777alisham 777alisham  18.05.2020 10:52
Решите уравнение ||х|-5|=6...
МарияПу16 МарияПу16  18.05.2020 10:52
Купили 7 кг конфет Грильяж и 5 кг конфет Ирис. За грильяж заплатили 30р,а за Ирис 15 р. Какова средняя цена конфет...
Salazar01 Salazar01  18.05.2020 10:52
У Михайла вдвічі більше горіхів,ніж у Миколи,а в Петра втричі більше,ніж у Миколи.Скільки горіхів у Миколи,якщо у ваіх разом 72 горіхи?...
lavika1 lavika1  18.05.2020 10:52
Відстань між містами 270 км. на карті ця відстань зображуються відрізками завдовжки 13,5см . Визначте масштаб карти...

Популярные вопросы