Необходимо найти область значений функции: y = + 3 cos2x + cosx.

Cos(2x) = 2*cos^2(x) - 1;
sin^2(x) = 1 - cos^2(x),
y = 1 - cos^2(x) + 3*(2*cos^2(x) - 1) + cos(x) = 5*cos^2(x) + cos(x) - 2,
t=cos(x),
(-1)<=cos(x)<=1;
рассмотрим функцию f(t) = 5*t^2 + t - 2,
при  (-1)<=t<=1. При таком t у этой функции та же область значений, что и у данной в условии функции (ограничений на переменную икс ведь нету, значит косинус икс принимает все значения из промежутка [-1;1]).
f(t) это парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке t = -1/(2*5) = -1/10 = -0,1.
f(-1) = 5 - 1 - 2 = 2;
f(1) = 5+1-2 = 4;
f(-0,1) = 5*0,01 - 0,1 - 2 = -2,05,
Область значений [-2,05; 4]