Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет 2 решения, с полным решением!

-5 < a < -1/2 или 3 < a < 7/2

Пошаговое объяснение:

Сделаем замену x + 4/x = y. Получается квадратное уравнение:

Домножим на 4 и выделим полный квадрат. Получится разность квадратов, которую преобразуем в произведение:

Если вам не нравится такой можете использовать дискриминант или угадать корни, пользуясь теоремой Виета. Так или иначе, корни этого уравнения и .

Когда мы вернемся обратно к иксам, нужно будет определять количество корней уравнения вида x + 4/x = t. Нарисуем график функции f(x) = x + 4/x. Это нечетная функция, сфокусируемся на x > 0.

Минимальное значение f(x) равно 4, достигается при x = 2. При x > 2 функция неограниченно возрастает (поскольку выражение в скобках положительно и оба слагаемых возрастают), а так как уравнение переходит само в себя при замене , то при 0 < x < 2 функция убывает от бесконечности.

При x < 0 всё получается симметрично относительно начала координат. График показан на картинке.

Итак, x + 4/x = t не имеет решений, если -4 < t < 4, одно решение, если t = -4 или t = 4, и два решения во всех остальных случаях.

Осталось понять, когда у исходного уравнения будет два решения.

Первое равенство выполнено при a = 2/3, тогда у уравнения нет решений. Не подходит

Первое неравенство дает -1/2 < a < 7/2, второе a > 3 или a < -5. Пересечение: 3 < a < 7/2.

Первое неравенство: a > 7/2 или a < -1/2, второе: -5 < a < 3. Пересечение: -5 < a < -1/2.

Нет решений

Нет решений