Найти все значения параметра a, при которых ровно один корень уравнения удовлетворяет x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0 неравенству x < -1.

Ответы

nikitacRon 08.08.2021 19:50

(см. объяснение)

Пошаговое объяснение:

В этой задаче есть два хороших к решению. Полностью аналитический и схематично-графический. Я люблю решать графически, но аналитический метод тоже покажу.

1: схематично-графический

Введем функцию f(x)=x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 . Это парабола, ветви которой направлены вверх. Изобразим возможные расположения графика, которые удовлетворяют условию задачи (я рисовать не буду; если у вас появятся вопросы, пишите; будет время отвечу)

Опишем эти случаи:

f(-1) /или/ $\left\{\begin{array}{c}D=0\\x_0$

Замечу, что в первом случае писать условие нет необходимости, так как, если какой-то элемент параболы ниже оси OX, то корня заведомо будет два.

Выполним необходимые вычисления:

f(-1)=a+4

D=4a^2-20a

x_0=1-a , где x_0 - это координата вершины параболы f(x) .

Перепишем случаи, опираясь на записанные выше данные:

a+4 /или/ $\left\{\begin{array}{c}4a^2-20a=0\\1-a$

Решая полученное, приходим к ответу:

$a\in(-\infty;\;4)\cup\{5\}$

2: аналитический

Уравнение x^2 + 2(a-1)x + 3a + 1 = 0 является квадратным, а значит его можно решить относительно через дискриминант, причем сразу поделим его на 4, чтобы упростить счет (можно не делить, но цифры вначале будут менее приятные):

$\dfrac{D}{4}=a^2-5a$

При $\dfrac{D}{4}0$ (то есть, когда $a\in(-\infty;\;0)\cup(5;\;+\infty)$ ):

Выразим корни уравнения:

$\left[\begin{array}{c}x_1=1-a+\sqrt{a^2-5a}\\x_2=1-a-\sqrt{a^2-5a}\end{array}\right;$

Хорошо видно, что x_1x_2 . Тогда, если x_1 , то x_2 тоже меньше минус единицы, что нас не устраивает. Поэтому здесь возможет единственный случай:

$\left\{\begin{array}{c}1-a+\sqrt{a^2-5a}\ge-1\\1-a-\sqrt{a^2-5a}$

Учитывая все выше сказанное приходим к тому, что $a\in(-\infty;\;-4)$ .

При $\dfrac{D}{4}=0$ (то есть, когда a=0 или a=5 ):

В этом случае корни совпадают, то есть x=1-a . Наша задача состоит в том, чтобы подчинить его условию , что возможно, если . Данный случай достижим либо при a=0 , либо при a=5 . Так как , то подходит только a=5 .