Найти все а, при каждом из которых множество решений неравенства. {а-(а^2-2а)cos2x+2}/{3-cosrx+a^2} содержит промежуток [-2п; -7п/6]

Так как sin2x+a2+1 > 0 при всех х и а, умножим обе части неравенства на sin2x+a2+1.

Неравенство примет вид:

a–(a2–2a–3)cosx+4 < sin2x+a2+1.

sin2x=1–cos2x;

cos2x–(a2–2a–3)cosx+2+a–a2 < 0

На [–π/3; π/2] множество значений функции у=cosx равно [0;1].

Обозначим сosx=t.

Переформулируем задачу.

Найти все значения параметра а, при каждом из которых t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 < 0 при всех t∈[0;1]

Для выполнения этого необходимо и достаточно, чтобы квадратичная функция f(t)=t2–(a2–2a–3)t+2+a–a2 , графиком которой является парабола, ветви направлены вверх, была расположена ниже оси оси на [0;1].

Это условие принимает вид

{f(0) < 0

{f(1) < 0

Тогда для всех точек t∈[0;1]

будет выполняться неравенство: f(t) < 0

[a2+a+2 < 0;

{–2a2+3a+6 < 0

или

{a2–a–2 > 0; D=1+8=9 корни –1 и 2

{2a2–3a–6 > 0 D=9–4•2•(–6)=9+48=57

корни (3–√57)/4 и (3+√57)/4

__(3–√57)/4__–12(3–√57)/4

О т в е т. (–∞; (3–√57)/4)U((3+√57)/4;+∞)