Найти вероятность того, что дни рождения четырех человек приходятся на разные месяца, считая, что человек рождается

Question

Математика: Найти вероятность того, что дни рождения четырех человек приходятся на разные месяца, считая, что человек рождается с одинаковой вероятностью в любой месяц года.

OakCadet · Answer

Так как каждый человек рождается с одинаковой вероятностью в любой месяц года, все исходы (то есть распределения дней рождения по месяцам) равновероятны.

Найдем количество благоприятных нам исходов. Первый человек может родиться в любой из 12 месяцев. Чтобы дни рождения всех четырех людей приходились на разные месяца, второй должен родиться в любой из 11 оставшихся месяцев, третий - в любой из 10, и четвертый - в любой из 9. Таким образом, есть 12 · 11 · 10 · 9 благоприятных исходов.

Несложно убедиться, что всего исходов 12⁴ (так как день рождения у каждого может быть в любой из 12 месяцев).

Считаем искомую вероятность как отношение благоприятных исходов ко всем возможным исходам:

$\dfrac{12\cdot11\cdot10\cdot9}{12^4} = \dfrac{55}{96} \approx 0.57291(6)$