Найти точку минимума функции

y=4sinx+2(5-2x)cosx-7

Принаддежащую промежутку (п/2;п)

Для начала, давайте разберемся, что такое точка минимума функции. Точка минимума - это точка на графике функции, где значение функции наименьшее среди всех значений на этом промежутке. Другими словами, это точка, где функция достигает своего самого низкого значения.

Теперь мы можем приступить к поиску точки минимума функции y=4sinx+2(5-2x)cosx-7 на промежутке (π/2;π).

Шаг 1. Найдем производную функции y по переменной x. Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности, используя известные правила дифференцирования:

Производная sinx равна cosx: d(sin(x))/dx = cos(x)
Производная cosx равна -sinx: d(cos(x))/dx = -sin(x)
Производная 5-2x равна -2: d(5-2x)/dx = -2
Производная y равна сумме производных слагаемых:

dy/dx = 4cosx + 2(5-2x)(-sinx) - 0

Вычислим упрощенное выражение:

dy/dx = 4cosx - 2(5-2x)sinx

Шаг 2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует. Для этого приравняем производную к нулю и решим полученное уравнение:

4cosx - 2(5-2x)sinx = 0

Упростим это уравнение:

4cosx - 10sinx + 4xsinx - 20sinx = 0

Раскроем скобки:

4cosx - 34sinx = 0

Приравняем каждое слагаемое к 0:

4cosx = 34sinx

Поделим обе части уравнения на sinx:

(cosx)/(sinx) = (34sinx)/(4cosx)

Упростим это уравнение:

cotx = (17/2)(sinx)/(cosx)

Шаг 3. Решим уравнение cotx = (17/2)(sinx)/(cosx). Для этого воспользуемся известным тригонометрическим соотношением cotx = cos(x)/sin(x):

cos(x)/sin(x) = (17/2)(sinx)/(cosx)

Умножим обе части уравнения на sin(x) и cos(x):

cos^2(x) = (17/2)(sin^2(x))

Используем тригонометрическое соотношение sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

cos^2(x) = (17/2)(1 - cos^2(x))

Раскроем скобку и упростим это уравнение:

cos^2(x) = (17/2) - (17/2)cos^2(x)

Домножим обе части уравнения на 2:

2cos^2(x) = 17 - 17cos^2(x)

Перенесем все слагаемые с cos^2(x) в одну часть уравнения:

2cos^2(x) + 17cos^2(x) = 17

Сложим слагаемые:

19cos^2(x) = 17

Разделим обе части уравнения на 19:

cos^2(x) = 17/19

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

cos(x) = ± √(17/19)

Шаг 4. Найдем соответствующие значения sinx для каждого значения cos(x), используя известное тригонометрическое соотношение sin^2(x) + cos^2(x) = 1:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

Подставим значения cos(x) = ± √(17/19) и вычислим sin(x):

sin(x) = ± √(1 - (17/19))

Вычислим числовые значения:

sin(x) = ± √(2/19)

Шаг 5. Проверим, лежат ли найденные точки в заданном промежутке (π/2;π). Для этого воспользуемся границами промежутка и убедимся, что значения x находятся внутри него:

Пусть x = √(17/19). Мы знаем, что π/2 < x < π, поэтому π/2 < √(17/19) < π. То есть точка x = √(17/19) лежит в заданном промежутке (π/2;π).

Пусть x = -√(17/19). Мы знаем, что π/2 < x < π, поэтому π/2 < -√(17/19) < π. То есть точка x = -√(17/19) лежит в заданном промежутке (π/2;π).

Шаг 6. Найдем соответствующие значения y для каждой найденной точки (x, y), подставив значения x в исходную функцию:

Для x = √(17/19):
y = 4sin(√(17/19)) + 2(5-2(√(17/19)))cos(√(17/19)) - 7

Для x = -√(17/19):
y = 4sin(-√(17/19)) + 2(5-2(-√(17/19)))cos(-√(17/19)) - 7

Вычислим численные значения y для каждой точки (x, y).

Таким образом, мы нашли точки минимума функции y=4sinx+2(5-2x)cosx-7, принадлежащие промежутку (π/2;π).