Найти точки экстримума функции z=27x^2+9xy^2-27x+2y^3

находим  точки удовлетворяющие условию

dz/dx=0

dz/dy=0

Частные производные от функции z равны

df/dx=d/dx(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=54x+9y^2-27

df/dy=d/dy(27x^2+9xy^2-27x+2y^3)=18xy+6y^2

Приравниваем их к нулю и решаем систему

54x+9y^2-27=0

18xy+6y^2=0

Из второго уравнения имеем

x=-y/3

подставив в первое уравнение получим

y^2-2y-3=0

Решая это квадратное уравнение получим два корня

y1=-1

y2=3

при y1=-1 имеем x1=1/3

при y2=3 имеем x2=3

А также при y=0 x=0,5

таким образом получили три точки

М1=(1/3; -1)

M2(-1; 3)

M3(0,5; 0)

Находим вторые производные

d/dx(df/dx)=d/dx(54x+9y^2-27)=54

d/dy(df/dx)=d/dy(54x+9y^2-27)=18y

d/dy(df/dy)=d/dy(18xy+6y^2)=18x+12y

далее для каждой точки M1 и M2 установим наличие экстремума

M1(1/3;-1)

A=d^2f/dx^2   |м1=54

B=d^2f/dx*dy   |м1 =18*(-1)=-18

C=d^2f/dy^2    |M1  =18*1/3+12*(-1)=-6

Дискриминат=AC-B^2=54*(-6)-(-18)^2=-648 <0

так как дискриминат меньше нуля, то точка M1 не имеет ни минимумов ни максимумов

M2(-1 ;3)

A=d^2f/dx^2   |м2=54

B=d^2f/dx*dy   |м2 =18*3=54

C=d^2f/dy^2    |M2  =18*(-1)+12*3=18

Дискриминат=AC-B^2=18*54-54^2=-1944<0

так как дискриминат меньше нуля, то точка M2 не имеет ни минимумов ни максимумов

M3(0,5; 0)

A=d^2f/dx^2   |м3=54

B=d^2f/dx*dy   |м3 =18*0=0

C=d^2f/dy^2    |M3  =18*(0,5)+12*0=9

Дискриминат=AC-B^2=54*9-0^2=486>0

так как дискриминант >0 и А>0, то функция z имеет min в точке M3(0,5; 0)

Zmin=27x^2+9xy^2-27x+2y^3=27*(1/2)^2+9*0,5*0^2-27*1/2+2*0^3=

27/4-27/2= -6,75

Находим стационарные точки

1) z'(x) = 0, z'(x)= 54x + 9y^2 -27

2) z'(y) = 0, z'(y) = 18xy + 6y^2 = 6y(3x + y) => y = 0 или 3x + y = 0 =>

1)a) подставляем y = 0 в первое: 54x - 27 = 0; x = 0,5

1)б) решаем систему из 54x + 9y^2 -27 = 0 и 3x + y = 0, из второго выражаем y: y = -3x и подставляем в первое: 54x + 81x^2 - 27 = 0 => x1 = -1, x2 = 1/3; y1 = 3, y2 = -1.

М1(0,5;0), М2 (-1; 3), M3 (1/3;-1).

z''(x) = 54

z''(xy) = 18y

z''(y) = 18x + 12y

1) Берем М1:  z''(x)|M1 = 54 = A1; z''(xy)|M1 = 0 = B1; z''(y)|M1 = 9 = C1; D1 = A1C1 - B1^2 = 486 => D1 > 0, A1 > 0 => M1 - минимум

2) 1) Берем М2:  z''(x)|M2 = 54 = A2; z''(xy)|M2 = 54 = B2; z''(y)|M2 = 18 = C2; D2 = A2C2 - B2^2 = -1944 => D2 < 0 => в M2 экстремума нет

3) Берем М3:  z''(x)|M3 = 54 = A3; z''(xy)|M3 = -18 = B3; z''(y)|M3 = -6 = C3; D3 = A3C3 - B3^2 = -648 => D3 < 0 => в M3 экстремума нет