Найти сумму всех допустимых значений t, при которых векторы |abc|=|a x 2c|, если векторы a={0;2;-1}, b={1;4;1}, c{1;t;0}. |abc|-смешанное произведение векторов

Для того чтобы найти сумму всех допустимых значений t, при которых векторы |abc|=|a x 2c|, мы должны рассмотреть две части уравнения отдельно и приравнять их друг к другу.

Первая часть уравнения - |abc|, смешанное произведение векторов, определяется следующим образом:
|abc| = a1(b2c3 - b3c2) - a2(b1c3 - b3c1) + a3(b1c2 - b2c1),

где a1, a2, a3, b1, b2, b3, c1, c2, c3 - координаты векторов a, b, c соответственно.

Подставим данные векторов a, b, c и получим значение |abc|:

|abc| = (0)(4*0 - 4*t) - (2)(1*0 - 1*t) + (-1)(1*2 - 4*0)
= 0 - (2)(-t) + (-1)(2 - 0)
= 2t + 2.

Вторая часть уравнения - |a x 2c|, является модулем векторного произведения вектора a на вектор 2c:

|a x 2c| = sqrt((a2(2c3) - a3(2c2))^2 + (a3(2c1) - a1(2c3))^2 + (a1(2c2) - a2(2c1))^2),

где a1, a2, a3, c1, c2, c3 - координаты векторов a, c соответственно.

Таким образом, подставим данные векторов a и c и получим значение |a x 2c|:

|a x 2c| = sqrt((2(2*0) - (-1)(2*0))^2 + ((-1)(2*1) - 0(2*0))^2 + (0(2*0) - 2(2*1))^2)
= sqrt((0 - 0)^2 + (-2)^2 + (-4)^2)
= sqrt(0 + 4 + 16)
= sqrt(20).

Теперь мы можем приравнять значения |abc| и |a x 2c| и решить получившееся уравнение:

2t + 2 = sqrt(20).

Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

(2t + 2)^2 = (sqrt(20))^2,
4t^2 + 8t + 4 = 20.

Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

4t^2 + 8t + 4 - 20 = 0,
4t^2 + 8t - 16 = 0.

Теперь мы имеем квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы дискриминанта:

D = b^2 - 4ac,
D = (8)^2 - 4(4)(-16),
D = 64 + 256,
D = 320.

Дискриминант равен 320. Теперь можно использовать формулу для нахождения значения t:

t = (-b ± sqrt(D)) / (2a),
t = (-8 ± sqrt(320)) / (2 * 4),
t = (-8 ± sqrt(320)) / 8.

Таким образом, получаем два значения t:

t1 = (-8 + sqrt(320)) / 8,
t1 = (-8 + 4sqrt(5)) / 8,
t1 = -1 + 0.5sqrt(5).

t2 = (-8 - sqrt(320)) / 8,
t2 = (-8 - 4sqrt(5)) / 8,
t2 = -1 - 0.5sqrt(5).

Итак, получили два значения t: -1 + 0.5sqrt(5) и -1 - 0.5sqrt(5).

Суммируем эти два значения:

-1 + 0.5sqrt(5) + (-1 - 0.5sqrt(5)),
-1 + 0.5sqrt(5) - 1 - 0.5sqrt(5),
-2.

Таким образом, сумма всех допустимых значений t равна -2.