Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции y= 6x^2-x^3

Для начала, давайте определимся с понятиями выпуклости и точек перегиба функции.

Выпуклость функции определяется поведением ее графика в отношении выпуклости или вогнутости. График функции называется выпуклым, если он имеет вид "пологого холма", и вогнутым, если он имеет вид "омовения". Выпуклость функции может меняться в зависимости от знака второй производной функции.

Точки перегиба функции - это точки на графике, в которых меняется выпуклость функции, то есть график функции может переходить из выпуклой части в вогнутую или наоборот.

Прежде чем находить промежутки выпуклости и точки перегиба функции, нам необходимо выяснить, где происходят изменения знака второй производной. Для этого найдем первую и вторую производную функции y=6x^2-x^3.

Применим правило дифференцирования, чтобы найти первую производную:

y' = d(6x^2-x^3)/dx = 12x - 3x^2.

Далее, найдем вторую производную, чтобы определить знак второй производной:

y'' = d(12x - 3x^2)/dx = 12 - 6x.

Теперь мы можем найти места, где вторая производная равна нулю:

12 - 6x = 0.

Решим это уравнение относительно x:

6x = 12,
x = 2.

Точка x = 2 является потенциальной точкой перегиба, поскольку здесь меняется знак второй производной. Для определения поведения графика функции в окрестности этой точки, нам нужно проанализировать знак второй производной слева и справа от нее.

Рассмотрим знак второй производной при x < 2:

Если x = 0, то 12 - 6(0) > 0,
если x = 1, то 12 - 6(1) > 0.

Значит, в окрестности точки x = 2 слева от нее вторая производная положительна, то есть функция выпукла влево.

Рассмотрим знак второй производной при x > 2:

Если x = 3, то 12 - 6(3) < 0,
если x = 4, то 12 - 6(4) < 0.

Значит, в окрестности точки x = 2 справа от нее вторая производная отрицательна, то есть функция выпукла вправо.

Исходя из этого, мы можем сделать выводы:

1. Между точками x = 0 и x = 2 функция y = 6x^2 - x^3 выпукла влево.
2. Между точками x = 2 и x = 4 функция y = 6x^2 - x^3 выпукла вправо.

Таким образом, промежутки выпуклости функции y = 6x^2 - x^3 составляют интервалы от x = 0 до x = 2 и от x = 2 до x = 4.

Точка x = 2 является точкой перегиба функции, где меняется ее выпуклость.