Найти производную функцию y=xlnx/x-1

Для решения данного вопроса, мы должны использовать правило дифференцирования сложной функции (правило Лейбница), а также правило дифференцирования частного функций.

1. Для начала, давайте разложим функцию на два слагаемых: y = xlnx/(x-1) = xlnx * (x-1)^(-1).

2. Теперь мы можем применить правило Лейбница для нахождения производной произведения двух функций. Правило Лейбница гласит: если есть функция f(x) = u(x)v(x), то производная f'(x) равна произведению производной первой функции на вторую, и произведения первой функции на производную второй функции. То есть f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x).

3. Применяя правило Лейбница к функции y = xlnx * (x-1)^(-1), получаем: y' = [(xlnx)' * (x-1)^(-1)] + [xlnx * ((x-1)^(-1))'].

4. Теперь нам нужно найти производную первого слагаемого: (xlnx)'. Мы можем использовать правило дифференцирования произведения функций, которое гласит: если есть функция f(x) = u(x)v(x), то производная f'(x) равна произведению производной первой функции на вторую плюс произведение первой функции на производную второй функции.

5. Применяя правило дифференцирования произведения функций, получаем: (xlnx)' = (x)' * (lnx) + x * (lnx)', где (x)' и (lnx)' - это производные функций x и lnx соответственно.

6. Производная функции x по переменной x равна 1, так как x имеет степень 1. Производная функции lnx по переменной x равна 1/x. Следовательно, (xlnx)' = 1 * (lnx) + x * (1/x).

7. Упрощаем выражение: (xlnx)' = lnx + 1.

8. Теперь мы можем найти производную второго слагаемого: ((x-1)^(-1))'. Мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции, которое гласит: если есть функция f(x) = (u(x))^n, то производная f'(x) равна произведению производной функции в основании степени на саму функцию, умноженную на степень с уменьшенным на 1: f'(x) = n(u(x))^(n-1) * u'(x).

9. Применяя правило дифференцирования степенной функции, получаем: ((x-1)^(-1))' = -1 * (x-1)^(-2) * (x-1)'.

10. Производная функции (x-1) по переменной x равна 1, так как (x-1) имеет степень 1. Следовательно, ((x-1)^(-1))' = -1 * (x-1)^(-2) * 1.

11. Упрощаем выражение: ((x-1)^(-1))' = -1/(x-1)^2.

12. Теперь мы можем заменить эти производные в формуле для y': y' = [(xlnx)' * (x-1)^(-1)] + [xlnx * ((x-1)^(-1))'] = (lnx + 1) * (x-1)^(-1) + xlnx * (-1/(x-1)^2).

Таким образом, производная функции y=xlnx/(x-1) равна y' = (lnx + 1) * (x-1)^(-1) + xlnx * (-1/(x-1)^2).