Найти площадь плоской фигуры, ограниченной кривыми:
x + y = 1, x + 3y = 1, x = y, x = 2y.

Ответы

Yulia2803 12.10.2020 02:53

Область ограничена прямыми $y=1-x\; ,\; y=\frac{1-x}{3}\; ,\; y=x\; ,\; y=\frac{x}{2}$ .

Найдём точки пересечения и разобьём область на сумму простейших областей.

$a)\; \; \frac{1-x}{3}=x\; \; ,\; \; 1-x=3x\; ,\; \; 4x=1\; \; ,\; \; x=\frac{1}{4}=0,25\\\\b)\; \; \frac{x}{2}=1-x\; \; ,\; \; x=2-2x\; \; ,\; \; 3x=2\; \; ,\; \; x=\frac{2}{3}\\\\c)\; \; x=1-x\; \; ,\; \; 2x=1\; \; ,\; \; x=\frac{1}{2}=0,5\\\\d)\; \; \frac{1-x}{3}=\frac{x}{2}\; \; ,\; \; 2-2x=3x\; \; ,\; \; 5x=2\; \; ,\; \; x=\frac{2}{5}=0,4$

$S=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (x-\frac{1-x}{3})\, dx+\int\limits^{1/2}_{2/5}\, (x-\frac{x}{2})\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\, (1-x-\frac{x}{2})\, dx=\\\\\\=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (\frac{4x}{3}-\frac{1}{3})\, dx+\int\limits_{2/5}^{1/2}\, \frac{x}{2}\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\,(1-\frac{3x}{2})\, dx=\\\\\\=(\frac{2x^2}{3}-\frac{x}{3})\Big|_{1/4}^{2/5}+\frac{x^2}{4}\Big|_{2/5}^{1/2}+(x-\frac{3x^2}{4})\Big|_{1/2}^{2/3}=$

$=(\frac{2\cdot 4}{3\cdot 25}-\frac{2}{15}-\frac{2}{3\cdot 16}+\frac{1}{12})+(\frac{1}{16}-\frac{1}{25})+(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{3}{16})=\\\\=\frac{3}{200}+\frac{9}{400}+\frac{1}{48}=\frac{7}{120}$

$P.S.\; \; S=\iint \limits _{D_1}dx\, dy+\iint \limits_{D_2}dx\, dy+\iint \limits _{D_3}dx\, dy=\\\\\\=\int \limits _{1/4}^{2/5}\, dx\int\limits^{x}_{\frac{1-x}{3}}\, dy+\int\limits_{2/5}^{1/2}\, dx\int\limits^{x}_ {x/2}\, dy+\int\limits^{2/3}_{1/2}\, dx\int\limits_{x/2}^ {1-x}\, dy=$

$=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (x-\frac{1-x}{3})\, dx+\int\limits^{1/2}_{2/5}\, (x-\frac{x}{2})\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\, (1-x-\frac{x}{2})\, dx=\\\\\\=\int\limits^{2/5}_{1/4}\, (\frac{4x}{3}-\frac{1}{3})\, dx+\int\limits_{2/5}^{1/2}\, \frac{x}{2}\, dx+\int\limits^{2/3}_{1/2}\,(1-\frac{3x}{2})\, dx=\\\\\\=(\frac{2x^2}{3}-\frac{x}{3})\Big|_{1/4}^{2/5}+\frac{x^2}{4}\Big|_{2/5}^{1/2}+(x-\frac{3x^2}{4})\Big|_{1/2}^{2/3}=...=\frac{7}{120}$