Найти площадь фигуры ограниченной линиями y=2cosx, x=-pi/3, x=pi/3

Хорошо! Давай начнем.

Для нахождения площади фигуры, ограниченной линиями y=2cosx, x=-pi/3, x=pi/3, мы будем использовать интеграл.

Итак, первым шагом мы должны построить график функции y=2cosx и линий x=-pi/3 и x=pi/3, чтобы понять, как выглядит фигура, которую мы исследуем. Давай сделаем это:

График функции y=2cosx выглядит как периодическая кривая, которая колеблется между значениями -2 и 2. Она достигает своего максимума в точках, где x является целым числом умноженным на pi, т.е. x=pi, x=2pi, x=3pi и т.д. Также она достигает своего минимума в точках, где x равно n*pi+pi/2, где n - целое число.

Теперь давай вспомним, что x=-pi/3 и x=pi/3 - это линии, которые определяют границы фигуры. То есть, фигура ограничена по горизонтальной оси от x=-pi/3 до x=pi/3.

Таким образом, нам нужно найти площадь фигуры, которая ограничена графиком функции y=2cosx и линиями x=-pi/3 и x=pi/3.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, мы можем воспользоваться формулой для нахождения площади под кривой на заданном интервале, которая выглядит так:

S = ∫(f(x) dx)

В нашем случае, f(x) = 2cosx, а пределы интегрирования -pi/3 и pi/3. Таким образом, формула принимает следующий вид:

S = ∫(2cosx dx) от -pi/3 до pi/3

Теперь мы можем решить данный интеграл. Определенный интеграл от функции cosx может быть решен методом подстановки или замены переменной.

Давай сделаем замену переменной:

Пусть u = sinx, тогда du/dx = cosx и dx = du/cosx

Теперь мы можем изменить пределы интегрирования при помощи данной замены переменной:

Когда x = -pi/3, sinx = -sqrt(3)/2
Когда x = pi/3, sinx = sqrt(3)/2

Используя замену переменной и поменяв пределы интегрирования, получим:

S = ∫(2cosx dx) от -pi/3 до pi/3 = ∫(2cosx)(du/cosx) от -sqrt(3)/2 до sqrt(3)/2

Сокращая cosx в числителе и знаменателе, получим:

S = ∫(2du) от -sqrt(3)/2 до sqrt(3)/2

Интегрируя данную функцию, получим:

S = [2u] от -sqrt(3)/2 до sqrt(3)/2 = 2(sqrt(3)/2 - (-sqrt(3)/2))

Упрощая данное выражение, получим:

S = 2*sqrt(3) - 2*(-sqrt(3)) = 2sqrt(3) + 2sqrt(3) = 4sqrt(3)

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y=2cosx, x=-pi/3, x=pi/3, равна 4sqrt(3).

Надеюсь, данное объяснение было понятным и полезным! Если у тебя возникли еще вопросы, не стесняйся задавать!