Найти первообразную функции у=x, график которой проходит через точку Р(3;5) a) x2 + 4
b) 2x2 + 4
c) 4x2 - 4
d) x2 - 4

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у=6х^2 и у=0; х=1; х=2
a) 5
b) 14
c) 11
d) 2

Добрый день, я буду выступать в роли школьного учителя и постараюсь дать вам максимально подробные объяснения.

1. Найти первообразную функции у = x, график которой проходит через точку Р(3;5).

Чтобы найти первообразную функции, нужно воспользоваться правилом интегрирования функции. Для функции у = x, чтобы найти первообразную, нужно взять интеграл от функции x по переменной x. Таким образом, первообразная функции будет F(x) = (x^2)/2 + C, где C - произвольная постоянная. Чтобы найти значение постоянной C, подставим координаты точки P(3;5) в функцию: F(3) = (3^2)/2 + C = 9/2 + C = 5. Таким образом, получим уравнение: 9/2 + C = 5. Выразим C: C = 5 - 9/2 = 10/2 - 9/2 = 1/2. Итак, первообразная функции у = x равна F(x) = (x^2)/2 + 1/2.

Теперь рассмотрим варианты с заданными функциями:

a) x^2 + 4

Для нахождения первообразной функции, нужно возьмем интеграл от функции (x^2 + 4) dx. Используя свойство линейности интеграла, получим F(x) = ((x^3)/3) + 4x + C. Мы не имеем информации о точке, через которую проходит график функции, поэтому задача не имеет однозначного решения.

b) 2x^2 + 4

Аналогично предыдущему пункту, возьмем интеграл от функции (2x^2 + 4) dx. Получим F(x) = (2(x^3)/3) + 4x + C. Поскольку мы не имеем информации о точке, через которую проходит график функции, задача не имеет однозначного решения.

c) 4x^2 - 4

Возьмем интеграл от функции (4x^2 - 4) dx. Используя свойство линейности интеграла, получим F(x) = (4(x^3)/3) - 4x + C. Поскольку мы не имеем информации о точке, через которую проходит график функции, задача не имеет однозначного решения.

d) x^2 - 4

Возьмем интеграл от функции (x^2 - 4) dx. Используя свойство линейности интеграла, получим F(x) = (x^3)/3 - 4x + C. Поскольку мы не имеем информации о точке, через которую проходит график функции, задача не имеет однозначного решения.

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6x^2 и y = 0; x = 1; x = 2.

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, нужно найти разность интегралов функций, образующих эти кривые, в пределах от x = 1 до x = 2.

a) 5

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной y = 6x^2 и y = 0, найдем интеграл функции 6x^2 от x = 1 до x = 2. Получим S = ∫(6x^2)dx, где пределы интегрирования от x = 1 до x = 2. После интегрирования получим S = [2x^3] от x = 1 до x = 2 = 2(2^3) - 2(1^3) = 2(8) - 2(1) = 16 - 2 = 14.

b) 14

Аналогично предыдущему пункту, ищем интеграл функции 6x^2 от x = 1 до x = 2. Получим S = ∫(6x^2)dx, где пределы интегрирования от x = 1 до x = 2. После интегрирования получим S = [2x^3] от x = 1 до x = 2 = 2(2^3) - 2(1^3) = 2(8) - 2(1) = 16 - 2 = 14.

c) 11

Аналогично предыдущим двум пунктам, ищем интеграл функции 6x^2 от x = 1 до x = 2. Получим S = ∫(6x^2)dx, где пределы интегрирования от x = 1 до x = 2. После интегрирования получим S = [2x^3] от x = 1 до x = 2 = 2(2^3) - 2(1^3) = 2(8) - 2(1) = 16 - 2 = 14.

d) 2

Аналогично предыдущим пунктам, ищем интеграл функции 6x^2 от x = 1 до x = 2. Получим S = ∫(6x^2)dx, где пределы интегрирования от x = 1 до x = 2. После интегрирования получим S = [2x^3] от x = 1 до x = 2 = 2(2^3) - 2(1^3) = 2(8) - 2(1) = 16 - 2 = 14.

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = 6x^2 и y = 0, x = 1 и x = 2 равна 14.