1. Математика
  2. Найти определенные интегралы.

Найти определенные интегралы.

Ромчик55123 Ромчик55123    2   20.03.2019 07:15    0

Ответы
Frog777 Frog777  26.05.2020 07:10

1)\; \; \int \frac{x^2\, dx}{5-x^6}=\int \frac{x^2\, dx}{5-(x^3)^2}=[\; t=x^3\; ,\; dt=3x^2\, dx\; ]=\frac{1}{3}\int \frac{dt}{5-t^2}=\\\\=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2\sqrt5}\cdot ln\Big |\frac{\sqrt5+t}{\sqrt5-t}\Big |+C=\frac{1}{6\sqrt5}\cdot ln\Big |\frac{\sqrt5+x^3}{\sqrt5-x^3}\Big |+C\\\\2)\; \; \int \frac{dx}{\sqrt{x(3x+5)}}=\int \frac{dx}{\sqrt{3x^2+5x}}=\int \frac{dx}{\sqrt{3}\cdot \sqrt{x^2+\frac{5}{3}x}}=\frac{1}{\sqrt3}\int \frac{dx}{\sqrt{(x+\frac{5}{6})^2-\frac{25}{36}}}=

\Big [\; t=x+\frac{5}{6}\; ,\; dt=dx\; \Big ]=\frac{1}{\sqrt3}\int \frac{dt}{t^2-\frac{25}{36}}=\frac{1}{\sqrt3}\cdot \frac{1}{2\cdot \frac{5}{6}}\cdot ln\Big |\frac{t-\frac{5}{6}}{t+\frac{5}{6}}\Big |+C=\\\\=\frac{\sqrt3}{5}\cdot ln\Big |\frac{3x}{3x+5}\Big |+C\\\\3)\; \; \int x\cdot arctg\sqrt{x^2-1}\, dx=[\; t^2=x^2-1\; ,\; 2t\, dt=2x\, dx\; ,\; x\, dx=t\, dt]=\\\\=\int arctgt\cdot t\, dt=[u=arctgt\; ,\; du=\frac{dt}{1+t^2}\; ,\; dv=t\, dt\; ,\; v=\frac{t^2}{2}\; ]=

=uv-\int v\, du=\frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\frac{1}{2}\int \frac{t^2\, dt}{1+t^2}=\frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\frac{1}{2}\int (1-\frac{1}{1+t^2})dt=\\\\=\frac{t^2}{2}\cdot arctgt-\frac{1}{2}\cdot (t-arctgt)+C=\\\\=\frac{x^2-1}{2}\cdot arctg\sqrt{x^2-1}-\frac{1}{2} \cdot (\, \sqrt{x^2-1}-arctg\sqrt{x^2-1}\, )+C

4)\; \; \int\limits^1_0\frac{\sqrt[4]{x}-\sqrt[8]{x^3}}{\sqrt{x}}\, dx=[\; t=x^8\; ,\; x=\sqrt[8]{t}\; ,\; dx=\frac{t^{-7/8}}{8}\, dt\; ,\; t_1=0\; ,\; t_2=1\; ]=\\\\=\int\limits^1_0\frac{t^2-t^3}{t^4}\cdot \frac{dt}{8t^{7/8}}=\frac{1}{8} \int\limits^1_0\, \frac{1-t}{t^2\; \cdot \; t^{7/8}}\, dt=\frac{1}{8}\int\limits^1_0\frac{1-t}{t^{23/8}}\, dx=\frac{1}{8}\int\limits^1_0\, (t^{-23/8}-t^{-15/8})\, dt=\\\\=\frac{1}{8}\cdot \Big (\frac{t^{-15/8}}{-15/8}-\frac{t^{-7/8}}{-7/8}\Big )\Big |_0^1=\frac{1}{8}\cdot (-\frac{8}{15}+\frac{8}{7})=\frac{8}{105}

5)\; \; \int\limits^{\frac{\pi}{4}}_0\, \frac{tg^7x\, dx}{cos^2x}=\frac{tg^8x}{8}\Big |_0^{\frac{\pi}{4}}=\frac{1}{8}\cdot (1-0)=\frac{1}{8}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
БЕРЕНА БЕРЕНА  21.07.2019 03:00
Составить и решить её: в состав пушечного ядра входит 9 частей меди и 1 часть...
kosen2332 kosen2332  21.07.2019 03:00
На две стройки отправили 8 одинаковых ящиков с гвоздями когда на обеих стройках израсходовали 60 килограмм гвоздей цена одной тройки осталось 3 полных ящиков а на другой 2...
dariavasilevskayaa dariavasilevskayaa  21.07.2019 03:00
Найти наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-1; 1] f(x)=4^x надо...
bceznaika2 bceznaika2  21.07.2019 03:00
Из аэропорта одновременно вылетели два самолета.скорость одного самолета 850км в час а другого-950км в час.какое расстояние будет между ними через 30мин после вылета...
кент1346 кент1346  21.07.2019 03:00
Решить .жук носорог ползёт по дорожке со скоростью 54 см/мин.какое расстояние он проползёт за 6 мин? вырази ответ в разных единицах измерения длины....
anja565449 anja565449  21.07.2019 03:00
Выразите время 8 мин; 36 мин; 2 ч 12 мин; 2 ч 15 мин; 3 ч 48 мин в часах и запишите результат с десятичной дроби...
оки8 оки8  21.07.2019 03:00
Расположите числа в порядке возрастания 3/4 2/5 4/7...
Мэй15 Мэй15  21.07.2019 03:00
Определить возможности (средства) изменения характера подростка в лучшую сторону...
nezandenzar nezandenzar  21.07.2019 03:00
Петя догоняет серёжу идущего со скоростью 100м в мин сейчасрасстояния между ними 300м. скорость пети 160м.мин.через сколько минут петя догонит сережу?...
Zxcvbnm900 Zxcvbnm900  21.07.2019 03:00
Решение 986: 34=? ответ в столбик...

Популярные вопросы