Найти общее решение y"-7y'=3x^2+4x+4

Данное уравнение - линейное неоднородное. 
Общее решение линейного неоднородного уравнения есть сумма общего решения соответствующего линейного однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного.
Соответствующее однородное уравнение имеет вид
. 
Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид
.
Его корни .
Общее решение однородного уравнения имеет вид
, где C1, C2 - произвольные постоянные.
Найдем частное решение неоднородного уравнения. Сделаем это методом подбора.
Так как один из корней характеристического уравнения равен нулю, то "очевидный подбор"  следует умножить на x и в таком виде искать решение. То есть, ищем частное решение неоднородного уравнения в виде , где A, B, C - неизвестные числа.
Дифференцируя, находим выражения для y' и y'':
.
Подставляем полученные выражения в уравнение:
.
Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, будем иметь:

Решая эту систему, имеем:

То есть, частное решение неоднородного уравнения есть
.
Значит общее решение неоднородного уравнения имеет вид
.