1. Математика
  2. найти общее решение(общий интеграл)

найти общее решение(общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка xy'=y+3x sin(y/x)

djdkdksDkskd djdkdksDkskd    1   03.04.2020 19:09    7

Ответы
PHVRVOH PHVRVOH  12.10.2020 13:50

Данное дифференциальное уравнение является однородным. Для однородных дифференциальных уравнений всегда осуществляется замена y=ux, тогда y'=u'x+u. Получаем :

x(u'x+u)=ux+3x\sin \dfrac{ux}{x}\\ \\ x=0;~~~ u'x+u=u+3\sin u\\ \\ u'x=3\sin u

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяя переменные и интегрируя обе части уравнения, мы получим

\displaystyle \int \dfrac{du}{\sin u}=\int \dfrac{3dx}{x}~~~\Rightarrow~~~ \int \dfrac{\sin u}{\sin^2u}du=3\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ -\int \dfrac{d(\cos u)}{1-\cos^2u}=3\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ -\dfrac{1}{2}\ln\Bigg|\dfrac{1+\cos u}{1-\cos u}\Bigg|=3\ln |x|+\ln C

\ln\Bigg|\dfrac{1-\cos u}{1+\cos u}\Bigg|=\ln\left|Cx^6\right|\\ \\\\ \dfrac{1-\cos u}{1+\cos u}=Cx^6

Выполним обратную замену

\dfrac{1-\cos \frac{y}{x}}{1+\cos \frac{y}{x}}=Cx^6— общий интеграл

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Пульпа Пульпа  15.03.2021 13:31
за решение. ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА (НЕ физика!) проходим тему функции, пределы и производные, нужно решить задачу:.Два источника света расположены друг от друга на расстоянии...
викся1231 викся1231  15.03.2021 13:31
M²-12m+36-3my+18y тиісті тәсілмен есепте​...
ольга2104 ольга2104  15.03.2021 13:32
На сфері радіуса 26 см дано три точки. Прямолінійні відстані між ними 12 см, 16 см і 20 см. Знайдіть відстань від центра сфери до площини, яка проходить через ці точки...
Svetik15102011 Svetik15102011  15.03.2021 13:32
Назови фигуры,изображенные на рисунке моя по математике​...
sucker046 sucker046  15.03.2021 13:32
2) теңдеуді шеш 5×|2х+3|-11=-6​...
AgentDaleCoop AgentDaleCoop  20.04.2021 17:04
-9(8-3х)+6(х-5)=12(3-х)-2х​...
Rj7 Rj7  20.04.2021 17:04
Решите умоляю вас очень нужно ​...
anisinivan09p08i87 anisinivan09p08i87  20.04.2021 17:04
Отношение двух чисел равно отнашению 9 целых 3\10:4\5. Одно число больше другого на 34. Найдите эти числа....
Supermegahulk Supermegahulk  20.04.2021 17:04
9 У Максима было 40 рублей. Он израсходовал на11сувенирыэтой суммы,остатка потратил на42.развлечения. Сколько денег осталось у Максима?​...
JlunaJlove JlunaJlove  20.04.2021 17:04
Решите уравнения: a) 8,2у - 4,4у = 38,38 б) 1,1 : (х + 0,14) = 2,5. С решением )...

Популярные вопросы