1. Математика
  2. Найти общее решение дифференциального

Найти общее решение дифференциального уравнения: 2x^2y'=x^2+y^2; yy'=2y-x

mixailoborin0 mixailoborin0    3   12.09.2019 19:20    3

Ответы
Владислава1626 Владислава1626  07.10.2020 10:16
Линейное однородное дифференциальное уравнение 
2x^2y'=x^2+y^2\\y=tx;y'=t'x+t\\2x^2(t'x+t)=x^2+t^2x^2|:x^2\\2\frac{dt}{dx}x+2t=1+t^2\\\frac{2xdt}{dx}=t^2-2t+1|*\frac{dx}{x(t^2-2t+1)}\\\frac{dx}{x}=\frac{2dt}{t^2-2t+1}\\\int\frac{dx}{x}=2\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-\frac{2}{t-1}+C\\ln|x|+\frac{2}{\frac{y}{x}-1}=C\\ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C
В результате деления на t^2-2t+1 мы теряем возможное решение: x=y, проверяем:
y=x\\y'=1\\2x^2y'=x^2+y^2\\2x^2=x^2+x^2\\2x^2=2x^2
y=x является решением дифференциального уравнения.
Окончательный ответ:
ln|x|+\frac{2x}{y-x}=C;y=x
----------
Линейное однородное дифференциальное уравнение
yy'=2y-x\\y=tx;y'=t'x+t\\tx(t'x+t)=2tx-x|:x\\t(t'x+t)=2t-1\\t'x+t=2-\frac{1}{t}\\\frac{xdt}{dx}=\frac{2t-1-t^2}{t}\\\frac{dx}{x}=-\frac{1}{t-1}-\frac{1}{(t-1)^2}\\\int\frac{dx}{x}=-\int\frac{d(t-1)}{t-1}-\int\frac{d(t-1)}{(t-1)^2}\\ln|x|=-ln|t-1|+\frac{1}{t-1}+C\\ln|y-x|-\frac{x}{y-x}=C
В результате деления на t мы теряем возможное решение: y=0, проверяем:
y=0\\y'=0\\0\neq0-x\\0\neq x
Нет, y=0 не является решением дифференциального уравнения.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Lena163121 Lena163121  18.03.2019 23:20
Упети васи вместе было 17 учебников.затем петя 2 своих учебника сдал в библиотеку, и у него стало в раза меньше учебников, чем у васи. сколько учебников было у каждого...
Dasha555559 Dasha555559  18.03.2019 23:20
Решить 2 двумя с одного аэродрома одновременно в противоположных направлениях вылетели два самолета.один летел со скоростью 748км/ч,другой-828км/ч.какое расстояние...
oliaborisova123 oliaborisova123  18.03.2019 23:20
Составлена таблица 9,6,2 6,8,3 2,11,4 14, ? , 3 ? , 5, 1 определите правила, по которым составлена таблица....
xiumin90 xiumin90  18.03.2019 23:20
Учень набрав на компютері число 123456789, а потім між деякими цифрами поставив знаки мінус і плюс так,що,виконавши дії, отримав число 100. спробуй і ти зробити...
Maximm2 Maximm2  18.03.2019 23:20
Построить график функций(с рисунком) y=-⅓ х + 2...
SOV20 SOV20  18.03.2019 23:20
Впервый класс школы в этом году поступили 67 человек. их распределили по классам так: в 1а - 22 ученика, в 1б - столько же, в 1в - остальных детей. сколько учеников...
дашаdaria12 дашаdaria12  18.03.2019 23:20
Запишите какую часть числа составляет 1%, 3%, 15%, 25%,10%, 20%, 50%? может от 100%? какого не написано....
Tusya007 Tusya007  18.03.2019 23:20
Умаши есть 3 юбки 4 блузки.сколько разных нарядов может составить маша из этих вещей...
BOT1111111 BOT1111111  18.03.2019 21:18
Впакете лежат жетоны 2 3 4 5 6 7 11 12 17 20 наугад берут один жетон какова вероятность того что номер написанный на нем будет простым числом?...
ggimat203 ggimat203  18.03.2019 21:18
2. в партии из 22 деталей находится 4 бракованных. наугад выбирают две детали. составить закон распределения числа бракованных деталей. 3. стрелок производит три...

Популярные вопросы