Найти объем шара, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, боковое ребро которой 8 дм, а высота 4 дм.

Шар описан около правильной четырёхугольной пирамиды.

Боковое ребро = 8 дм.

Высота = 4 дм.

V шара - ?

Обозначим данную описанную правильную четырёхугольную пирамиду в шар буквами SABCD.

SC = 8 дм.

SO = 4 дм.

V шара = 4/3пR^3, где R - радиус шара.

Рассмотрим △SOC:

Он прямоугольный, так как SO - высота.

Найдём ОС, по теореме Пифагора: (с² = а² + b², где с - гипотенуза; а, b - катеты)

ОС = √(SC² - SO²) = √(8² - 4²) = √(64 - 16) = √48 = 4√3 дм.

Итак, ОС = 4√3 дм.

Так как О - центр основания правильной четырёхугольной пирамиды ⇒ АС = ОС * 2 = 4√3 * 2 = 8√3 дм.

Так как данная пирамида - правильная, четырёхугольная ⇒основание данной пирамиды - квадрат.

Квадрат - геометрическая фигура, у которой все стороны равны.

Итак, ABCD - квадрат.

АС - диагональ квадрата ABCD.

d = a√2, где d - AC; a - AB, BC. CD, AD.

⇒ a = 8√3/√2 = 4√6 дм.

Итак, AB = BC = CD = AD = 4√6 дм.

R = SO² + (AB * √2/2)²/2 * SO = 4² + (4√6 * √2/2)²/2 * 4 = 8 дм.

V шара = п(4/3 * 8^3) = 2048/3п = 682 2/3п дм³