Найти наименьшее значение выражения: х^2+у^2-6х+8у, и определить, при каких значениях переменных оно достигается с ! :

Это же очень просто, гляди

x^2 + y^2 -6x + 8y = (x^2 - 6x +9)-9 + (y^2 +8y +16)-16 = (x-3)^2 + (y+4)^2 -25

Вот и всё, задача решена, потому что квадрат любого числа >=0, а минимальное его значение 0. Поэтому Мин всего выражения 0+0-25 = -25.

При каких значениях тоже сразу видно, а именно, при

x-3=0 , то есть при х=3

y+4=0, то есть при у=-4.

Вот и всё! Главное - выделить полные квадраты.

Преобразуем заданное выражение 

х^2+у^2-6х+8у

x^2 - 6x + 9 + y^2 + 8 y + 16 - 25 ;

(x-3)^2 + (y+4)^2 - 25.

поскольку квадраты (x-3)^2 и (y+4)^2 неотрицательны , то минимальное значение достигается если они равны нулю, т.е. х = 3, у = -4, тогда 

х^2+у^2-6х+8у =-25

действительно

3² + 4² - 6·3 - 8·4 =  9 + 16 - 18 - 32 = -25

Итак, f min = -25 при х = 3, у = -4