Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках.
y=∛(2(x-2)²(8-x))-1 {0: 6}

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на заданном отрезке нам необходимо сначала найти критические точки на этом отрезке, а затем посмотреть, как функция ведет себя в этих точках и на границах отрезка.

По определению, критические точки - это точки, в которых производная функции равна нулю или не существует. В нашем случае, чтобы найти критические точки, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует.

Давайте найдем производную функции y=∛(2(x-2)²(8-x))-1:
y' = (∛(2(x-2)²(8-x))-1)'

Для упрощения вычислений, обозначим выражение в кубическом корне за u:
u = 2(x-2)²(8-x)

Тогда, у нас получится:
y' = (∛u - 1)'

Чтобы продифференцировать это выражение, воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

y' = (u^(1/3) - 1)' = (u^(1/3))' - (1)' = (1/3)u^(-2/3) - 0 = 1/3u^(-2/3)

Теперь заменим обратно u на исходное выражение:
y' = 1/3(2(x-2)²(8-x))^(-2/3)

Для нахождения критических точек, мы должны приравнять производную к нулю и решить уравнение:
1/3(2(x-2)²(8-x))^(-2/3) = 0

Поскольку константа 1/3 не может быть равной нулю, у нас остается только одна возможность для равенства нулю:
(2(x-2)²(8-x))^(-2/3) = 0

Теперь возведем обе части уравнения в куб:
[(2(x-2)²(8-x))^(-2/3)]^3 = 0^3
(2(x-2)²(8-x))^(-2) = 0

Для нахождения значения x, при котором это выражение равно нулю, нам нужно, чтобы числитель выражения был равен нулю, а знаменатель был отличен от нуля. То есть, следующие выражения должны быть равны нулю:

2(x-2)²(8-x) = 0

Для решения этого уравнения, мы должны разложить его на множители и найти значения x, соответствующие этим множителям:
2(x-2)²(8-x) = 0

Из этого уравнения мы можем увидеть, что один из множителей равен нулю:
x-2 = 0 => x = 2

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = 2.

Теперь, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [0, 6], мы должны проверить значения функции в критической точке и на границах отрезка.

1. Проверка в критической точке x = 2:
Подставим x = 2 в исходную функцию:
y(2) = ∛(2(2-2)²(8-2))-1
y(2) = ∛(2(0)²(6))-1
y(2) = ∛(0)-1
y(2) = ∛(-1)
На данный момент необходимо заметить, что кубический корень из отрицательного числа не определен в обычных действительных числах. Поэтому значение функции на точке x = 2 не определено.

2. Проверка на границах отрезка [0, 6]:
а) На границе x = 0:
Подставим x = 0 в исходную функцию:
y(0) = ∛(2(0-2)²(8-0))-1
y(0) = ∛(2(-2)²(8))-1
y(0) = ∛(2(4)(8))-1
y(0) = ∛(64)-1
y(0) = ∛(64 - 1)
y(0) = ∛(63)
y(0) ≈ 3.979

б) На границе x = 6:
Подставим x = 6 в исходную функцию:
y(6) = ∛(2(6-2)²(8-6))-1
y(6) = ∛(2(4)²(8-6))-1
y(6) = ∛(2(16)(8-6))-1
y(6) = ∛(32(8-6))-1
y(6) = ∛(32(2))-1
y(6) = ∛(64)-1
y(6) = ∛(64 - 1)
y(6) = ∛(63)
y(6) ≈ 3.979

Таким образом, наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке [0, 6] составляют примерно 3.979. Обратите внимание, что критическая точка при x = 2 не соответствует объемлющему отрезку, поэтому она не является точкой экстремума функции на этом отрезке.