Найти наибольшее и наименьшее значение функции на заданном промежутке : f(x)=x5-5x4+5x3 [-1; 5]

F'(x)=5x^4-20x^3+15x^2
Находим корни производной, чтобы определить её знаки, а следовательно, и участки монотонности функции.
5x^4-20x^3+15x^2=0 <=> 5x^2(x^2-4x+3)=0
<=> x^2(x-1)(x-3)=0 <=> x=0 или x=1 или x=3
(Рисуем числовую линию и подставляем числа в производную, чтобы узнать знак на промежутках, а, hence, участки монотонность)
От -1 до 0: возрастает
От 0 до 1: возрастает
От 1 до 3: убывает
От 3 до 5: возрастает
так как от 1 до 3 убывает а далее возрастает, пробуем подставить 3 в функцию (точка 3 является инфимумом). с таким же успехом можно подставить -1, так как на участке от -1 до 0 убывает, но, подставив оба числа, увидем, что f(3)<f(-1), теперь ищем ломальный максимум. так как от 0 до 1 возрастает, а далее убывает, пробуем подставить 1 в функцию (это точка - экстремум). получаем -11. теперь пробуем подставить значение 5, так как от 3 до +infinity возрастает, и нам дан промежуток (от -1 до 5), то подставляем 5. значение функции в 5 будет 625.
ответ: fнаим=f(3)=-27
fнаиб=f(5)=625
они являются локальными минимумом и максимумом на промежутке от -1 до 5.