Найти координаты точки В, которая расположена симметрично заданной точке А (3;1;-4) относительно плоскости S, определяемой уравнением 5х + y - 3z + 17 = 0. Определить расстояние от точек А и В до плоскости S

Находим точку В, симметричную точке А относительно плоскости а.

А(3; 1; -4), а: 5x + y – 3z + 17 = 0.

Решение. Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

 (x-xo)/A=(y-yo)/B=(z-zo)/C.

Найдем точку M пересечения прямой (x-3)/5=(y-1)/1=(z+4)/(-3)   и плоскости 5x + y – 3z + 17 = 0.

Для этого представим прямую в параметрическом виде:  

(x – 3)/5 = t или x = 5t + 3,

(y – 1)/1 = t или y = t + 1,

(z + 4)/(-3) = t или z = -3t - 4

Подставив найденные значения x,y,z в уравнение плоскости a, получаем:

5(5t + 3) + t + 1 – 3(-3t – 4) + 17 = 0.

25t  + 15 + t + 1 + 9t – 12 + 17 = 0

35t + 21 = 0

t = -21/35.

Подставим значение t = (-21/35) в параметрическое уравнение прямой. Тогда получим координаты точки М:

x = 5*(-21/35) + 3 = 0,

y = (-21/35) + 1 = 14/35,

z = -3*(-21/35) – 4 = -77/35.

Точка М(0; (14/35); (-77/35)).

Теперь находим точку B, симметричную точке А(3;1;-4)  относительно точки М.  

Точка М(0; (14/35); (-77/35)) является серединой отрезка АB.  

Отсюда по формуле средней точки находим симметричную точку B.

x(B) = 2x(M) - x(A) = 2*0 – 3 = -3,

y(B) = 2y(M) - y(A) = 2*(14/35) – 1 = -7/35,

z(B) = 2z(M) - z(A) = 2*(-77/35) – (-4) = -14/35.

Точка B(-3; (-7/35); (-14/35)).

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости

Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√(A² + B² + C²)

Подставим в формулу данные:

d = |5·3 + 1·1 + (-3)·(-4) + 17|/√(5² + 1² + (-3)²) = |15 + 1 + 12 + 17|/√(25 + 1 + 9) = 45/√35 = 9√35/7 ≈ 7,6064.