Найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x\3+3x\2-9x+2

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 2, мы должны исследовать знак производной этой функции.

Шаг 1: Найдем производную функции f'(x). Для этого применим правило дифференцирования для каждого члена функции по отдельности:

f'(x) = (d/dx)x^3 + (d/dx)3x^2 + (d/dx)(-9x) + (d/dx)2

f'(x) = 3x^2 + 6x - 9

Шаг 2: Найдем критические точки функции, то есть значения x, для которых f'(x) = 0. Решим уравнение:

3x^2 + 6x - 9 = 0

Для удобства, разделим каждый член на 3:

x^2 + 2x - 3 = 0

Факторизуем уравнение:

(x + 3)(x - 1) = 0

Решим получившиеся уравнения:

x + 3 = 0 => x = -3
x - 1 = 0 => x = 1

Таким образом, мы нашли две критические точки x = -3 и x = 1.

Шаг 3: Для определения интервалов возрастания и убывания функции, мы строим таблицу знаков производной. Подставляем в f'(x) поочередно значения, лежащие слева и справа от критических точек.

Точка | x < -3 | -3 < x < 1 | x > 1
-------------------------------------------------
f'(x) | + | - | +

Таким образом, на интервалах (-∞, -3) и (1, +∞) функция f(x) возрастает, а на интервале (-3, 1) она убывает.

Итак, интевалы возрастания функции f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 2 это (-∞, -3) и (1, +∞), а интервалы убывания (-3, 1).