Найти интегрированием по частям

Рассмотрим функции u=u(x) и v=v(x), которые имеют непрерывные производные. Согласно свойствам дифференциалов, имеет место следующее равенство:

d(uv)=udv+vdu

Проинтегрировав левую и правую части последнего равенства, получим:

∫d(uv)=∫(udv+vdu)⇒uv=∫udv+∫vdu

Полученное равенство перепишем в виде:

∫udv=uv−∫vdu

Эта формула называется формулой интегрирования по частям. С ее интеграл ∫udv можно свести к нахождению интеграла ∫vdu, который может быть более простым.

В некоторых случаях формулу интегрирования частями нужно применять неоднократно.

Формулу интегрирования по частям целесообразно применять к интегралам следующего вида:

1) ∫Pn(x)ekxdx  ;   ∫Pn(x)sin(kx)dx  ;   ∫Pn(x)cos(kx)dx

Здесь Pn(x) - многочлен степени n, k - некоторая константа. В данном случае в качестве функции u берется многочлен, а в качестве dv - оставшиеся сомножители. Для интегралов такого типа формула интегрирования по частям применяется n раз.

Примеры решения интегралов данным методом

Задание. Найти интеграл ∫(x+1)e2xdx

Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям.



=(x+1)e2x

2

−1

2

∫e2xdx=(x+1)e2x

2

−1

2

⋅1

2

e2x+C=

=(x+1)e2x

2

−e2x

4

+C

ответ.

∫(x+1)e2xdx=

(x+1)e2x

2

−

e2x

4

+C

Больше примеров решений



Решение интегралов онлайн

Задание. Найти интеграл ∫x2cosxdx

Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.





=x2sinx−2(x⋅(−cos)x−∫(−cosx)dx)=

=x2sinx+2xcosx−2∫cosxdx=

=x2sinx+2xcosx−2sinx+C=(x2−1)sinx+2xcosx+C

ответ.∫x2cosxdx=(x2−1)sinx+2xcosx+C

2)∫Pn(x)arcsinxdx  ;   ∫Pn(x)arccosxdx  ;   ∫Pn(x)lnxdx

Здесь принимают, что dv=Pn(x)dx, а в качестве u оставшиеся сомножители.

Задание. Найти интеграл ∫lnxdx

Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям.



=xlnx−∫dx=xlnx−x+C=x(lnx−1)+C

ответ. ∫lnxdx=x(lnx−1)+C

Больше примеров решений



Решение интегралов онлайн

Задание. Найти интеграл ∫arcsinxdx

Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям. Для решения данного интеграла эту операцию надо повторить 2 раза.





=xarcsinx−∫−tdt√t2=xarcsinx+∫tdt

t

=xarcsinx+∫dt=

=xarcsinx+t+C=xarcsinx+

√

1−x2

+C

ответ.

∫arcsinxdx=xarcsinx+

√

1−x2

+C

3)∫ekx+bsin(cx+f)dx  ;   ∫ekx+bcos(cx+f)dx

В данном случае в качество u берется либо экспонента, либо тригонометрическая функция. Единственным условием есть то, что при дальнейшем применении формулы интегрирования по частям в качестве функции u берется та же функция, то есть либо экспонента, либо тригонометрическая функция соответственно.

Задание. Найти интеграл ∫e2x+1sinxdx

Решение. В исходном интеграле выделим функции u и v, затем выполним интегрирование по частям.



=−e2x+1cosx−∫(−cosx)⋅

e2x+1

2

dx=



=−e2x+1cosx+

1

2

(e2x+1sinx−∫sinx⋅e2x+1

2

dx)

=

=−e2x+1cosx+e2x+1sinx

2

−1

4

∫e2x+1sinxdx

Таким образом, получили равенство:

∫e2x+1sinxdx=−e2x+1cosx+

e2x+1sinx

2

−

1

4

∫e2x+1sinxd

Перенося интеграл из правой части равенства в левую, имеем:

∫e2x+1sinxdx+1

4

∫e2x+1sinxdx=−e2x+1cosx+e2x+1sin

2

или

5

4

∫e2x+1sinxdx=−e2x+1cosx+

e2x+1sinx

2

Далее домножая левую и правую части равенства на

4

5

, окончательно имеем:

∫e2x+1sinxdx=−

4e2x+1cosx

5

+

2e2x+1sinx

5

+C

ответ.

∫e2x+1sinxdx=−

4e2x+1cosx

5

+

2e2x+1sinx