1. Математика
  2. Найти интеграл: интеграл

Найти интеграл: интеграл arctg(корень x) dx

илюхв илюхв    3   01.07.2019 07:50    0

Ответы
DashaB27 DashaB27  24.07.2020 17:49

\displaystyle x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C

Пошаговое объяснение:

$\int arctg\sqrt x\;dx

Воспользуемся формулой интегрирования по частям:  

$\int u\;dv = uv - \int v\;du

Пусть u = arctg√x ⇒

\Rightarrow \displaystyle du = arctg(\sqrt x)' \;dx = \frac{dx}{(1+x)\cdot2\sqrt x}

Пусть dv = dx ⇒ v = x

\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}

Рассмотрим интеграл:

\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)}

Обозначим √x = t

x = t² ⇒ dx = 2t dt

\displaystyle\frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} = \int \frac{t^3dt}{t\cdot(1+t^2)} = \int \frac{t^3dt}{t+t^3} = \int\bigg(1- \frac{t}{t+t^3}\bigg)dt = \\\\\\t - \int\frac{dt}{1+t^2} = t - arctg(t) = \sqrt x - arctg\sqrt x

Вернёмся к нашему интегралу:

\displaystyle \int arctg\sqrt x\;dx = x\cdot arctg\sqrt x - \frac{1}{2}\int \frac{xdx}{\sqrt x\cdot(1+x)} =\\\\\\= x\cdot arctg\sqrt x - (\sqrt x - arctg\sqrt x) = x\cdot arctg\sqrt x + arctg\sqrt x - \sqrt x + C

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Kreizanova Kreizanova  26.05.2020 13:20
С рисунка, на котором изображен график функции y=f(x) от [-8;8] найдите а) нули функции;б) промежутки нарастания функции.​...
DaraMarkos DaraMarkos  26.05.2020 13:21
РЕШИТЬ УРАВНЕНИЯ СИСТЕМЫ ЛЮБЫМ х+7у=44 {2х-3у=-36 2){х-8у=17 {3х+4у=23...
Bekarys2002 Bekarys2002  26.05.2020 13:21
Стороны четырехугольного участка земли равна 250 м 320 м 360 м и 420 м Найди длину этих сторон на плане с масштабом 1: 5000...
Fedot4ik Fedot4ik  26.05.2020 13:21
Точка В симметрична точке А относительно начала координат, точка C — относительно оси х, аточка D — относительно оси у. Запишите координаты точек, если A(3; — 2)​...
fiyyk fiyyk  26.05.2020 13:21
очень надо очень надо!! >...
romawylka romawylka  27.05.2020 13:09
родители не могут ришить3 1/3 : ( x - 1/2) = 2 2/3 : (x + 1/3)...
Лизавеликая111 Лизавеликая111  27.05.2020 00:10
На втором участке было в 4 раза больше саженцев чем на первом когда о 2ого увезли 20 саженцев а на 1ый привезли 13 саженцев то саженцев стало поровну сколько саженцев было...
tykuozlli2 tykuozlli2  27.05.2020 13:08
Округліть до десятих : 7,236; 0,85834...
sashamaslak sashamaslak  27.05.2020 13:27
1. Какова вероятность того, что последняя цифра случайно выбранного телефонного номера равна 5 или 8?...
avatarmeri15 avatarmeri15  27.05.2020 13:28
Павел имеет такие результаты по прыжкам в длину: 3,9 м, 4,0 м,3,7 м,4,2м. Вычисли средний результат....

Популярные вопросы