1. Математика
  2. Найти градиент и производную функции

Найти градиент и производную функции в направлении вектора а , в точке а: z=(x^2y+2xy^2)^4, a={-4: -3}, a(-1: 1)

Puroscok009 Puroscok009    2   04.06.2019 05:20    0

Ответы
Мария05m Мария05m  05.07.2020 09:28
f:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ f(x,y)=x^2y+2xy^2 \\
g:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ \ g(t)=t^4 \\
z:\mathbb{R}^2\longrightarrow\mathbb{R} \ \ \ z=g\circ f \\
\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta x} \\
\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta x}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot (2xy+2y^2) \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta x}=0 \ \ \ \ \ \ \ \ (2(-1)1+2(1)^2)=(-2+2)=0 \\
\frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta y}=4(x^2y+2xy^2)^3\cdot(x^2+4xy) \\
\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta y}=12 \ \ \ \ \ \ \ -4\cdot(-3)
\nabla z(-1,1)=(0,12)

\frac{\vartheta z}{\vartheta a}=\frac{dg(f(x,y))}{dt}\cdot\frac{\vartheta f(x,y)}{\vartheta a} =<\nabla z(x,y),\overrightarrow{a} \\&#10;\frac{\vartheta z(-1,1)}{\vartheta (-4,-3)}=<\nabla z(-1,1), (-4,-3)=<(0,12),(-4,-3)=-36

P.S. Решил добавить пару замечаний:
1). этап определения z=g \circ f - не обязателен для решения. Я добавил его для наглядности получения частных производных. На мой взгляд - лучше прослеживается весь путь дифференциирования: сначала, по методу сложной функции одной переменной, из неё переходим в частную производную внутренней функции.

2). равенство \frac{\vartheta z(x,y)}{\vartheta \overrightarrow{a}}=<\nabla z(x,y),\overrightarrow{a} доказывается отдельно. 

Если возникнут вопросы - пиши. 
Удачи!
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
Кираfox15 Кираfox15  17.12.2019 13:27
Между двумя селами-р метр. в то же время в направлении , противоположном друг другу, вышли два спортсмена и встретились через f минуту.скорость первого спортсмена-һм/мин.найди...
belykh28 belykh28  17.12.2019 13:20
Расстояние между пунктами a и b равно 345 км. одновременно навстречу друг другу из этих пунктов выехали два автомобиля и встретились через 3 часа. найдите скорость...
alinkalapko049 alinkalapko049  21.04.2019 18:46
Игральный кубик бросили 8 раз ровно 4 раза выпало 2 очка и ровно два раза выпало 1 очко подробно...
БродилаПоЛесу БродилаПоЛесу  21.04.2019 18:47
Одна зі сторін трикутника дорівнює 8 см, а друга сторона на 2 см довша за третю. знайди довжини двох невідомих сторін трикутника, якщо його периметр дорівнює 28 см​...
tyujg tyujg  21.04.2019 18:47
На плане одного из районов города клетками изображены кварталы, каждый из которых имеет форму квадрата со стороной 80 м. ширина всех улиц в этом районе – 20 м. 1) найдите...
Влад11737463 Влад11737463  21.04.2019 18:48
Длина прямоугольного параллелепипеда равна 90 см. его высота составляет 40% длины и 3/4 ширины. вычислите объём параллелепипеда....
клэш4 клэш4  21.04.2019 18:48
На форуме присутствует 34 академика, 16 из них имеют бороду,14 -усы, а у 9 академиков нет ни бороды, ни усов. сколько академиков имеют и бороду, и усы?...
СофаСтар2 СофаСтар2  21.04.2019 18:49
намеченного маршрута и 2/3 остатка.какую часть длинны маршрута осталось пройти? 2: когда прочитали 1/8 книги и 4/5 остатка,то осталось прочитать 21 страницу.сколько...
muamy muamy  21.04.2019 18:49
(5)29 30на клетчатой бумаге нарисована фигура. сторона клетки равна 1 смна к1 см1) найди площадь этой фигуры. ответ дай в кв. см.ответ: 2) нарисуй по клеточкам прямоугольник,...
Нурик2266 Нурик2266  21.04.2019 18:49
Найти область сходимости ряда 1.7...

Популярные вопросы