Найти экстремумы функции и интервалы возрастания и убывания y=x^2/1+x.

Дана функция у = х²/(1 + х).

Производная равна y' = (x(x + 2))/((1 + x)²).

Приравняв её нулю (достаточно числитель), видим, что имеем 2 критические точки: х = 0 и х = -2.

Для определения их характера определяем знаки производной на промежутках с учётом, что функция имеет разрыв в точке х = -1.

х = -3        -2    -1,5      -0,5  0      1

у' = 0,75 0 -3     -3        0      0,75 .

Где производная положительна - функция возрастает, где отрицательна - там убывает. Точки, в которых происходит смена знака и есть точки экстремума - где производная с плюса меняется на минус - точка максимума, а где с минуса на плюс - точки минимума.

В точке х = -2 максимум, в точке х = 0 минимум.

Возрастает на промежутках (-∞; -2) ∪ (0; +∞).

Убывает (-2; -1) ∪ (-1; 0).

ДАНО:   y = x²/(1+x).

1. Область определения:  х ≠ -1.

2. Производная функции.

Корни производной при х1 = -2 и х2=0

3. Локальные экстремумы.

Ymax(-2) = -4 - максимум,  Ymin(0) = 0.

4. Наклонная асимптота.  y = x - 1.

На втором рисунке ДЛЯ ОБРАЗЦА.показаны экстремумы, области возрастания и убывания, монотонность.