Найти частные решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие начальным условиям.

Пошаговое объяснение:y'' = e2x  

Данное дифференциальное уравнение относится к линейным дифференциальным уравнениям с постоянными коэффициентами.

Решение уравнения будем искать в виде y = erx. Для этого составляем характеристическое уравнение линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

r2+0 r + 0 = 0

D=0*2 - 4·1·0=0  r1=0   r2=0

Корни характеристического уравнения:

Корень характеристического уравнения r = 0 кратности 2.

Следовательно, фундаментальную систему решений составляют функции:

y1 = e0x

y2 = xe0x

Общее решение однородного уравнения имеет вид:

y1=C1 +C2x

Ci ∈ R

Рассмотрим правую часть:

f(x) = e2x

Поиск частного решения.

Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью вида:

R(x) = eax(P(x)cos(βx) + Q(x)sin(βx)), где P(x), Q(x) - некоторые полиномы

имеет частное решение

y(x) = xkeax(R(x)cos(βx) + S(x)sin(βx))

где k - кратность корня α+βi характеристического полинома соответствующего однородного уравнения, R(x), S(x) - полиномы, подлежащие определению, степень которых равна максимальной степени полиномов P(x), Q(x).

Здесь P(x) = 1, Q(x) = 0, α = 2, β = 0.

Следовательно, число α + βi = 2 + 0i не является корнем характеристического уравнения.

Уравнение имеет частное решение вида:

y· = Ae2x

Вычисляем производные:

y' = 2·A·e2x

y'' = 4·A·e2x

которые подставляем в исходное дифференциальное уравнение:

y'' = (4·A·e2x) = e2x

или  4·A·e2x) = e2x

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получаем систему уравнений:

1: 4A = 1

Решая ее, находим:

A = 1/4;

Частное решение имеет вид:

y2=1/4 *e2x

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид:

y=y1+y2 =C1 +C2x +1/4 *e2x

Найдем частное решение при условии: y(0) = 3, y'(0) = 0

Поскольку y(0) = C1+1/4, то получаем первое уравнение:

C1+1/4 = 3

Находим первую производную:

y' = C2+e2x/2

Поскольку y'(0) = C2+1/2, то получаем второе уравнение:

C3+1/2 = 0

В итоге получаем систему из двух уравнений:

C1+1/4 = 3

C2+1/2 = 0

т.е.:

C1 = 11/4, C2 = -1/2

Тогда частное решение при заданных начальных условиях можно записать в виде:

y=11/4 - 1/2 *x +1/4*e2x