Найти частное решение(частный интеграл) д.у. (2x+y)dy=ydx+4lnydy, y(0)=1 (ответ вас от чистого серда ответить быстро и развернуто. Заранее благодарю.

Artemij08 Artemij08    1   16.03.2020 05:33    5

Ответы
Darina6940 Darina6940  23.08.2020 16:27

(2x+y-4\ln y)dy-ydx=0

Уравнение M(x;y)dx+N(x;y)dy=0 есть уравнением в полных дифференциалах тогда, когда выполнено равенство M'_y(x;y)=N'(x;y). Данное уравнение имеет интегрирующий множитель \mu (y),т.е.

\mu (y)M(x;y)+\mu (y)N(x;y)y'=0\\ -y\cdot \dfrac{\mu(y)}{dy}-\mu(y)=2\mu(y)\\ \\ \mu (y)=\displaystyle \int -\dfrac{3}{y}dy=\dfrac{1}{y^3}

Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель, получим, что данное диф. уравнение будет в полных дифференциалах. Легко проверить: M'_y(x;y)=\dfrac{2}{y^3}=N'_x(x;y)

Если функция F(x;y) удовлетворяет F'_x(x;y)=M(x;y) и F'_y(x;y)=N(x;y) , то решение F(x;y)=C, где C\in \mathbb{R}.

Интегрируя функцию F по х, получим

F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int -\dfrac{dx}{y^2}=-\dfrac{x}{y^2}+C(y)

Дифференцируя по у, получим F'_y(x;y)=\dfrac{2x}{y^3}+C'(y)

Мы имеем F'_y(x;y)=N(x;y)=-\dfrac{4\ln y-y-2x}{y^3} отсюда C'(y)=-\dfrac{4\ln y-y}{y^3} получаем C(y)=\displaystyle \int \left(-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}\right)dy=-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}

Общий интеграл: -4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=C

Подставив начальные условия, мы получим

-1 - 1 = C

C = -2

\boxed{-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=-2~~~\Rightarrow~~~ x=2\ln y+1-y}

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика