)Найти базисную подсистему данной системы векторов, а векторы, не вошедшие в неё выразить через базис

Чтобы решить эту задачу, нам необходимо найти базисную подсистему данной системы векторов и выразить векторы, которые не вошли в эту подсистему, через базис.

Для начала, определим, что такое базисная подсистема. Базисная подсистема - это часть системы векторов, которая является линейно независимой и способна порождать всё пространство, т.е. любой вектор в пространстве может быть представлен как линейная комбинация векторов из базисной подсистемы.

Итак, у нас есть система векторов заданная в виде матрицы:

[1 2 -1]
-1 0 1

Чтобы найти базисную подсистему, применим элементарные преобразования к матрице, чтобы привести ее к ступенчатому виду:

[1 2 -1]
-1 0 1

Сначала мы можем поменять местами две строки:

[-1 0 1]
[1 2 -1]

Затем мы можем вычесть из первой строки вторую строку:

[-1 0 1]
[0 2 -2]

И, наконец, мы можем умножить вторую строку на -1/2:

[-1 0 1]
[0 1 -1]

Теперь матрица находится в ступенчатом виде. Базисной подсистемой будет являться максимальное количество линейно независимых векторов из ступенчатого вида.

Посмотрим на полученную матрицу. У нас есть два ненулевых вектора [-1 0 1] и [0 1 -1]. Эти два вектора являются базисной подсистемой, так как они являются линейно независимыми и могут порождать весь оставшийся вектор в пространстве.

Для выражения векторов, которые не вошли в базисную подсистему через базис, мы можем использовать коэффициенты из ступенчатого вида.

Векторы, не входящие в базисную подсистему, можно выразить следующим образом:

v1 = 1*(-1 0 1) = (-1 0 1)
v2 = 1*(0 1 -1) = (0 1 -1)

Таким образом, базисная подсистема этой системы векторов включает в себя векторы [-1 0 1] и [0 1 -1], и векторы, не вошедшие в неё, могут быть выражены как (-1 0 1) и (0 1 -1) соответственно.